Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +10 µC e una carica di +4 µC si trovano a 60 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 24 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = +4 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 3 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 40 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 5° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 40 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 5 ms.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Quanto tempo dopo t = 0 la corrente dell’induttore raggiunge 0,443 A? Trova t.

V_s = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un filo è percorso da una corrente verso destra in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica sul filo.

I: verso destraB: verso l’esterno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 500 spire, 15 cm × 10 cm, ruota in un campo uniforme di 0,05 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 33,32 V?

N = 500A = 15 cm × 10 cmB = 0,05 TE_rms = 33,32 V

n = rpm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 100 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un resistore R₁ è collegato in serie a un parallelo tra R₂ e un condensatore C, a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,283 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,24² = 1,561 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,36² = 277469 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |1,561 × 10⁶ − 277469| = 1,283 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,283 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 37,31 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 5° = 0,002575 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 5° = 0,06972 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06972·√(0,002575/8,99 × 10⁹) = 3,731 × 10⁻⁸ C = 37,31 nC

Risposta

q = 37,31 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,6429 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 10 + 7,5 = 17,5 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/17,5 = 1,029 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,029·10 = 7,714 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,714/12 = 0,6429 A

Risposta

I_R2 = 0,6429 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,45 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 37,5 Ω

R₂ ∥ 37,5 = 16,67 Ω

R_eq = R₁ + 16,67 = 10 + 16,67 = 26,67 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/26,67 = 0,45 A

Risposta

I_R1 = 0,45 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,3849 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0,4255 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4255·(1 − e^−5/2,128) = 0,3849 A

Risposta

i = 0,3849 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 1,121 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.

i(0) = 12/20 = 0,6 A

i(∞) = 12/(20 + 22) = 0,2857 A

τ = L/R = 68/42 = 1,619 ms

i(t) = 0,2857 + (0,6 − 0,2857)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

e^−t/τ = (0,443 − 0,2857)/(0,6 − 0,2857) = 0,5005

t = 1,619·ln(1,998) = 1,121 ms

Risposta

t = 1,121 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso il basso

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

I: verso destra, B: verso l’esterno della pagina

Verso della forza

verso il basso

Risposta

F: verso il basso

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 1200 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·E_rms = 47,12 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 47,12/(500·0,05·0,015) = 125,7 rad/s

Giri al minuto

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Risposta

n = 1200 rpm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −23,07 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−21,3)²) = 54,35 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−21,3/50) = −23,07°

Risposta

φ = −23,07°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,1513 A

Reattanza

X_C = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Z_p in parte reale e parte immaginaria.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 122,7 − j57,84 Ω

Impedenza totale

Z = 25 + 122,7 − j57,84 = 147,7 − j57,84 Ω

|Z| = √(147,7² + 57,84²) = 158,7 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 24/158,7 = 0,1513 A

Risposta

I = 0,1513 A

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