Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +6 µC e +4 µC distano 40 cm. A quale distanza x dalla carica di +6 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCd = 40 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +10 µC e −10 µC distano 6 cm. Il punto P si trova a 5 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 6 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 99% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 8 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 120 ms.

V_s = 5 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 120 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove a 1,5 × 10⁶ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,1 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1,5 × 10⁶ m/sB = 0,1 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 1 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,1 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,8 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,8 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 500 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 22,02 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

6/x² = 4/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(4/6) = 0,8165

Posizione

x = 40/(1 + 0,8165) = 22,02 cm

Risposta

x = 22,02 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,721 × 10⁷ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(3² + 5²) = 5,831 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,05831² = 2,644 × 10⁷ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,644 × 10⁷·0,5145 = 2,721 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 2,721 × 10⁷ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,6218 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 10·27/(10+27) = 7,297 Ω

R_eq = R₁ + 7,297 = 12 + 7,297 = 19,3 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/19,3 = 0,6218 A

Risposta

I_R1 = 0,6218 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,107 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 12,5 Ω

R₃ + 12,5 = 15,5 Ω

R₂ ∥ 15,5 = 2,514 Ω

R_eq = R₁ + 2,514 = 30 + 2,514 = 32,51 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/32,51 = 1,107 A

Risposta

I_R1 = 1,107 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 20,93 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0,4091 A

Risolvi per il tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −4,545·ln(0,01) = 20,93 ms

Risposta

t = 20,93 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 5,514 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(120) = 5 + (3)·e^−120/68 = 5,514 V

Risposta

v_C = 5,514 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 15,66 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,1) = 0,1566 m = 15,66 cm

Risposta

r = 15,66 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,305 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,1 = 1 × 10⁶ m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,01305 m = 1,305 cm

Risposta

r = 1,305 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,4841 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (464,5)²) = 475,1 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/475,1 = 0,4841 A

Risposta

I = 0,4841 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 6,21 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (59,65)²) = 61,51 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/61,51 = 1,951 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 1,951·3,183 = 6,21 V

Risposta

V_C = 6,21 V

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