Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++3 µC++1 µCr = 5 cm

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +3 µC e +1 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 5 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +3 µCq2 = +1 µCr = 5 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
3 cm4 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +8 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 4 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 5 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 8 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 5 µCq2 = 8 µCq3 = 4 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​2 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​15 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​20 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 5 ms, in mJ.

Vs = 20 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
W = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​10 Vt = 0R = 2,2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 2 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 7,6 V? Trova t.

Vs = 10 VR = 2,2 kΩC = 68 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 200 cm², N = 25B: 0 → 0,1 T

Una bobina di 25 spire, area 200 cm² e resistenza 5 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,1 T in 250 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 25A = 200 cm²B: 0 T → 0,1 TΔt = 250 msR = 5 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 3000 rpm15 cm × 25 cmN = 50B = 0,5 T

Una bobina di 50 spire, 15 cm × 25 cm, ruota a 3000 giri/min in un campo uniforme di 0,5 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova il valore efficace Erms della f.e.m.

N = 50A = 15 cm × 25 cmB = 0,5 Tn = 3000 rpm
Erms = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 60 HzRL = 200 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 200 mH deve entrare in risonanza a 60 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 60 HzL = 200 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 10 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF

Un circuito RLC serie ha R = 10 Ω, L = 5 mH e C = 0,01 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF
Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 14,38 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (3 + 1)/2 = 2 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,05² = 14,38 N

Risposta

F = 14,38 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 268,8 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·5·4 × 10⁻¹²/0,03² = 199,8 N
F2 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N

Somma vettoriale

F = √(199,8² + 179,8²) = 268,8 N

Risposta

F = 268,8 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 27,03 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​2 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7,034 Ω
Req = R1 + 7,034 = 20 + 7,034 = 27,03 Ω

Risposta

Req = 27,03 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 2,1 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBR6​15 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 15 + 15 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 12 Ω
R3 + 12 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3,111 Ω
Req = R1 + 3,111 = 8 + 3,111 = 11,11 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/11,11 = 2,7 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,7·8 = 8,4 V
IR2 = VA/R2 = 8,4/4 = 2,1 A

Risposta

IR2 = 2,1 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 7,895 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 20/50 = 0,4 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,4·(1 − e−5/3) = 0,3244 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·150·0,3244² = 7,895 mJ

Risposta

W = 7,895 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 180,1 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

7,6 = 10 + (−8)·e−t/τ → e−t/τ = (7,6 − 10)/(2 − 10) = 0,3
t = τ·ln((2 − 10)/(7,6 − 10)) = 149,6·ln(3,333) = 180,1 ms

Risposta

t = 180,1 ms
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 40 mA

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,1 − 0)·0,02 = 0,002 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,002/0,25 = 0,2 V

Corrente

I = ε/R = 0,2/5 = 0,04 A

Risposta

I = 40 mA
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: Erms = 208,3 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
A = 0,0375 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 50·0,5·0,0375·314,2 = 294,5 V

Valore efficace

Erms = 294,5/√2 = 208,3 V

Risposta

Erms = 208,3 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 35,18 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,2) = 35,18 µF

Risposta

C = 35,18 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 70,71

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,005·0,01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,005/(0,01·10⁻⁶)) = 70,71

Risposta

Q = 70,71

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