Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Cariche di +1 µC e +8 µC distano 60 cm. A quale distanza x dalla carica di +1 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?
q1 = +1 µCq2 = +8 µCd = 60 cm
x = cm
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Cariche di +10 µC e −10 µC distano 8 cm. Il punto P si trova a 10 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 8 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 90% del suo valore finale? Trova t.
Vs = 5 VR = 47 ΩL = 150 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 6 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 9,6 V? Trova t.
Vs = 12 VR = 2,2 kΩC = 47 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. L’intensità del campo sta diminuendo. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.
B: verso l’esterno della paginadB/dt < 0
- 1oraria
- 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
La corrente in un induttore da 20 mH varia in modo costante da 0,5 A a 0 A in 10 ms. Trova il modulo della f.e.m. autoindotta ε.
L = 20 mH0,5 A → 0 AΔt = 10 ms
ε = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie con C = 0,47 µF deve entrare in risonanza a 2000 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.
f0 = 2000 HzC = 0,47 µF
L = mH
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR1 = 50 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
I = A
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: x = 15,67 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Campi uguali
1/x² = 8/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(8/1) = 2,828
Posizione
x = 60/(1 + 2,828) = 15,67 cm
Risposta
x = 15,67 cm
Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: E = 5,757 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Distanza e campo di una carica
r = √(4² + 10²) = 10,77 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1077² = 7,75 × 10⁶ N/C
Componenti
Le componenti lungo l’asse si annullano.
E = 2·E1·(a/r) = 2·7,75 × 10⁶·0,3714 = 5,757 × 10⁶ N/C
Risposta
E = 5,757 × 10⁶ N/C
Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,2941 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Req = R1 + 2 = 15 + 2 = 17 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 10/17 = 0,5882 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,5882·15 = 1,176 V
IR2 = VA/R2 = 1,176/4 = 0,2941 A
Risposta
IR2 = 0,2941 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: Req = 7,253 Ω
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 3,158 Ω
R3 + 3,158 = 5,158 Ω
R2 ∥ 5,158 = 2,253 Ω
Req = R1 + 2,253 = 5 + 2,253 = 7,253 Ω
Risposta
Req = 7,253 Ω
5.Transitori RC e RL
Risposta: t = 7,349 ms
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo e corrente finale
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A
Risolvi per il tempo
0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −3,191·ln(0,1) = 7,349 ms
Risposta
t = 7,349 ms
6.Transitori RC e RL
Risposta: t = 94,74 ms
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Valore iniziale, valore finale, costante di tempo
La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms
vC(t) = 12 + (6 − 12)·e−t/τ
Risolvi per il tempo
9,6 = 12 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (9,6 − 12)/(6 − 12) = 0,4
t = τ·ln((6 − 12)/(9,6 − 12)) = 103,4·ln(2,5) = 94,74 ms
Risposta
t = 94,74 ms
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: antioraria
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso
Il flusso entrante nella pagina aumenta, oppure il flusso uscente dalla pagina diminuisce.
Campo della corrente indotta
La corrente indotta si oppone alla variazione.
Campo indotto all’interno della spira: uscente dalla pagina.
Verso della corrente
Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.
antioraria
Risposta
antioraria
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: ε = 1 V
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
F.e.m. autoindotta
La f.e.m. si oppone alla variazione di corrente (Lenz), quindi il suo segno è opposto a ΔI; il valore è L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,02·0,5/0,01 = 1 V
Risposta
ε = 1 V
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: L = 13,47 mH
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Condizione di risonanza
In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·0,47·10⁻⁶) = 13,47 mH
Risposta
L = 13,47 mH
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 2,34 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanza
XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Combinazione in parallelo
Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 39,79 − j40 Ω
Impedenza totale
Z = 50 + 39,79 − j40 = 89,79 − j40 Ω
|Z| = √(89,79² + 40²) = 98,29 Ω
Corrente
I = V/|Z| = 230/98,29 = 2,34 A
Risposta
I = 2,34 A
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