Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++5 µC−−5 µC++3 µC7,5 cm + 2,5 cm

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +5 µC a sinistra, +3 µC a destra a 10 cm di distanza, e −5 µC tra loro, a 7,5 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +5 µCqR = +3 µCqM = −5 µCrL = 7,5 cmrR = 2,5 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
4 cm8 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +5 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 5 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 5 µC a 8 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 4 µCq2 = 5 µCq3 = 5 µCr13 = 4 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​12 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 1 ms, in mJ.

Vs = 12 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 Vt = 0R = 4,7 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 8 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 750 ms.

Vs = 15 VR = 4,7 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 Vt = 750 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 40 cm², N = 20B: 0,1 → 0,9 T

Una bobina di 20 spire ha un’area di 40 cm². Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,1 T a 0,9 T in 200 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 20A = 40 cm²B: 0,1 T → 0,9 TΔt = 200 ms
ε = mV
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
N1​ = 800, l = 30 cmN2​ = 20M = ?

Una bobina corta di 20 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 800 spire, lunghezza 30 cm e diametro 3 cm. Trova la loro mutua induttanza M.

N1 = 800N2 = 20l = 30 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.Impedenza AC e fasoriMedia
100 V500 HzR = 15 ΩC = 10 µFI

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 500 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩC = 10 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
12 V100 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µF

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 100 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 175,8 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

FL = −k·5·5 × 10⁻¹²/0,075² = −39,96 N
FR = +k·3·5 × 10⁻¹²/0,025² = 215,8 N

Forza risultante

F = −39,96 + (215,8) = 175,8 N → |F| = 175,8 N

Risposta

F = 175,8 N

La forza risultante è diretta verso destra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 117,7 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·4·5 × 10⁻¹²/0,04² = 112,4 N
F2 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,08² = 35,12 N

Somma vettoriale

F = √(112,4² + 35,12²) = 117,7 N

Risposta

F = 117,7 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 24,44 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
Req = R1 + 4,444 = 20 + 4,444 = 24,44 Ω

Risposta

Req = 24,44 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 1,137 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 17,14 Ω
R3 + 17,14 = 47,14 Ω
R2 ∥ 47,14 = 1,919 Ω
Req = R1 + 1,919 = 6 + 1,919 = 7,919 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 9/7,919 = 1,137 A

Risposta

IR1 = 1,137 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 1,931 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 12/15 = 0,8 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,8·(1 − e−1/0,6667) = 0,6215 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·10·0,6215² = 1,931 mJ

Risposta

W = 1,931 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 14,33 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 68 µF = 319,6 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(750) = 15 + (−7)·e−750/319,6 = 14,33 V

Risposta

vC = 14,33 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 320 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,9 − 0,1)·0,004 = 0,0032 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0032/0,2 = 0,32 V

Risposta

ε = 320 mV
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: M = 47,37 µH

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·20·0,0007069/0,3 = 47,37 µH

Risposta

M = 47,37 µH
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −25,23 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

IR = V/R = 100/15 = 6,667 A
IX = V/XC = 100/31,83 = 3,142 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(IR² + IX²) = √(6,667² + 3,142²) = 7,37 A

Angolo di fase

La corrente nel condensatore è in anticipo su V, quindi la corrente totale è in anticipo e l’angolo è negativo.

φ = −arctan(IX/IR) = −arctan(3,142/6,667) = −25,23°

Risposta

φ = −25,23°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 47,5 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5,467 − j13,74 Ω

Impedenza totale

Z = 40 + 5,467 − j13,74 = 45,47 − j13,74 Ω
|Z| = √(45,47² + 13,74²) = 47,5 Ω

Risposta

|Z| = 47,5 Ω

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