Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++1 µC++10 µCP50 cm

Una carica di +1 µC e una carica di +10 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 20 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +1 µCq2 = +10 µCr1 = 20 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
3 cm4 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +10 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 8 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 1 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 10 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 1 µCq2 = 10 µCq3 = 8 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 4 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
R = 22 Ωt = 0L33 mHi(t)

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,5 A? Trova t.

i(0) = 2,5 AR = 22 ΩL = 33 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​9 Vt = 0R = 100 kΩC?+−vC​

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 9 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 7,2 V, esattamente 250 ms dopo l’avvio. Con R = 100 kΩ, trova la capacità C necessaria.

Vs = 9 VVth = 7,2 VT = 250 msR = 100 kΩ
C = µF
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 10 cm², N = 50B: 0,05 → 0,55 T

Una bobina di 50 spire, area 10 cm² e resistenza 20 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,05 T a 0,55 T in 10 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 50A = 10 cm²B: 0,05 T → 0,55 TΔt = 10 msR = 20 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 600 rpm20 cm × 5 cmN = 50B = 0,1 T

Una bobina di 50 spire, 20 cm × 5 cm, ruota a 600 giri/min in un campo uniforme di 0,1 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 50A = 20 cm × 5 cmB = 0,1 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 5000 HzRL = 50 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 50 mH deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 5000 HzL = 50 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
50 V60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 60 Hz. Trova la frequenza di risonanza f0 del circuito.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF
f0 = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 774139 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,2² = 224750 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |224750 − 998889| = 774139 N/C

Risposta

E = 774139 N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 456,5 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·1·8 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N
F2 = k·10·8 × 10⁻¹²/0,04² = 449,5 N

Somma vettoriale

F = √(79,91² + 449,5²) = 456,5 N

Risposta

F = 456,5 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 1,048 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
Req = R1 + 5,538 = 4 + 5,538 = 9,538 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 10/9,538 = 1,048 A

Risposta

IR1 = 1,048 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 5,574 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 7,217 Ω
R2 ∥ 7,217 = 2,574 Ω
Req = R1 + 2,574 = 3 + 2,574 = 5,574 Ω

Risposta

Req = 5,574 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 2,414 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

Risolvi per il tempo

0,5 = 2,5·e−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,5)
t = 1,5·ln(5) = 2,414 ms

Risposta

t = 2,414 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 1,553 µF

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo richiesta

7,2 = 9·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 7,2))
τ = 250/1,609 = 155,3 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 155,3/100 = 1,553 µF

Risposta

C = 1,553 µF
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 125 mA

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,55 − 0,05)·0,001 = 0,0005 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0005/0,01 = 2,5 V

Corrente

I = ε/R = 2,5/20 = 0,125 A

Risposta

I = 125 mA
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 3,142 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s
A = 0,01 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 50·0,1·0,01·62,83 = 3,142 V

Risposta

E0 = 3,142 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 0,02026 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,05) = 0,02026 µF

Risposta

C = 0,02026 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f0 = 35,59 Hz

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·100·10⁻⁶)) = 35,59 Hz

Risposta

f0 = 35,59 Hz

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