Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +2 µC e +1 µC distano 10 cm. A quale distanza x dalla carica di +2 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCd = 10 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 3,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 4 cm e il campo tra di esse è 3700 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la corrente i in t = 5 ms.

i(0) = 2,5 AR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 250 ms.

V_s = 9 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un’asta metallica lunga 40 cm scorre a 2,5 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,1 T entrante nella pagina. Trova la f.e.m. indotta ε tra le sue estremità.

B = 0,1 TL = 40 cmv = 2,5 m/s

ε = mV

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 500 spire, 12 cm × 5 cm, ruota in un campo uniforme di 0,25 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 66,64 V?

N = 500A = 12 cm × 5 cmB = 0,25 TE_rms = 66,64 V

n = rpm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 500 Hz. Trova il fattore di potenza cos φ del circuito.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF

cos φ =

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 5,858 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

2/x² = 1/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(1/2) = 0,7071

Posizione

x = 10/(1 + 0,7071) = 5,858 cm

Risposta

x = 5,858 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,425 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,04/3,5 × 10⁷ = 1,143 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3700/9,109 × 10⁻³¹ = 6,507 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·6,507 × 10¹⁴·(1,143 × 10⁻⁹)² = 0,000425 m = 0,425 mm

Risposta

y = 0,425 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,4345 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 15 + 5,714 = 20,71 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/20,71 = 0,4345 A

Risposta

I_R1 = 0,4345 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 2,143 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 12,5 Ω

R₃ + 12,5 = 22,5 Ω

R₂ ∥ 22,5 = 9 Ω

R_eq = R₁ + 9 = 5 + 9 = 14 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14 = 2,143 A

Risposta

I_R1 = 2,143 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2576 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms

Decadimento della corrente

i(t) = 2,5·e^−5/2,2 = 0,2576 A

Risposta

i = 0,2576 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 4,239 V

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 9·10/(4,7 + 10) = 6,122 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Scarica

v_C(t) = 6,122·e^−250/680 = 4,239 V

Risposta

v_C = 4,239 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 100 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,1·0,4·2,5 = 0,1 V

Risposta

ε = 100 mV

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 1200 rpm

F.e.m. di picco

E₀ = √2·E_rms = 94,24 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 94,24/(500·0,25·0,006) = 125,7 rad/s

Giri al minuto

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Risposta

n = 1200 rpm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: cos φ = 0,557

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 62,83 Ω, X_C = 3,183 Ω

Impedenza

|Z| = √(40² + (59,65)²) = 71,82 Ω

Fattore di potenza

cos φ = R/|Z| = 40/71,82 = 0,557

Il circuito è induttivo, quindi il fattore di potenza è induttivo (in ritardo).

Risposta

cos φ = 0,557

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,03877 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (306,9)²) = 309,5 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/309,5 = 0,03877 A

Risposta

I = 0,03877 A

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