Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Cariche di +10 µC e +1 µC distano 30 cm. A quale distanza x dalla carica di +10 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?
q1 = +10 µCq2 = +1 µCd = 30 cm
x = cm
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 3 cm e il campo tra di esse è 1100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.
v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 1100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 5 ms, in mJ.
Vs = 20 VR = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms
W = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 6 V? Trova t.
Vs = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Una bobina di 250 spire ha un’area di 100 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 20 ms in un campo uniforme di 0,4 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.
N = 250A = 100 cm²B = 0,4 TΔt = 20 ms
ε = V
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Una bobina corta di 200 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 800 spire, lunghezza 50 cm e diametro 3 cm. Trova la loro mutua induttanza M.
N1 = 800N2 = 200l = 50 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 10 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 12 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace VL ai capi dell’induttore.
V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF
VL = V
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: x = 22,79 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Campi uguali
10/x² = 1/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(1/10) = 0,3162
Posizione
x = 30/(1 + 0,3162) = 22,79 cm
Risposta
x = 22,79 cm
Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: y = 0,8706 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tempo tra le armature
t = L/v₀ = 0,03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s
Accelerazione laterale
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1100/9,109 × 10⁻³¹ = 1,935 × 10¹⁴ m/s²
Freccia
y = ½·a·t² = ½·1,935 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,0008706 m = 0,8706 mm
Risposta
y = 0,8706 mm
L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 0,3973 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω
Req = R1 + 2,654 = 20 + 2,654 = 22,65 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 9/22,65 = 0,3973 A
Risposta
IR1 = 0,3973 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 1,037 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 5 + 25 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 5 Ω
R3 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 2,1 Ω
Req = R1 + 2,1 = 6 + 2,1 = 8,1 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 12/8,1 = 1,481 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,481·6 = 3,111 V
IR2 = VA/R2 = 3,111/3 = 1,037 A
Risposta
IR2 = 1,037 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: W = 26,55 mJ
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo e corrente finale
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1,333 A
Corrente all’istante dato
i(t) = 1,333·(1 − e−5/3,133) = 1,063 A
Energia immagazzinata
W = ½·L·i² = ½·47·1,063² = 26,55 mJ
Risposta
W = 26,55 mJ
6.Transitori RC e RL
Risposta: t = 51,08 ms
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Valore iniziale, valore finale, costante di tempo
La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ
Risolvi per il tempo
6 = 9 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (6 − 9)/(4 − 9) = 0,6
t = τ·ln((4 − 9)/(6 − 9)) = 100·ln(1,667) = 51,08 ms
Risposta
t = 51,08 ms
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: ε = 100 V
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso per spira
ΔΦ = 2·0,4·0,01 = 0,008 Wb
F.e.m. media
ε = NΔΦ/Δt = 250·0,008/0,02 = 100 V
Risposta
ε = 100 V
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: M = 284,2 µH
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Mutua induttanza
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·200·0,0007069/0,5 = 284,2 µH
Risposta
M = 284,2 µH
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,02261 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (439,4)²) = 442,2 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 10/442,2 = 0,02261 A
Risposta
I = 0,02261 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: VL = 169,7 V
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Risonanza
In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 12/50 = 0,24 A
Tensione ai capi dell’induttore
XL = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω
VL = I·XL = 0,24·707,1 = 169,7 V
Risposta
VL = 169,7 V
Questo è Q = 14,14 volte la tensione di alimentazione.
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