Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++10 µC−−5 µCr = 50 cm

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +10 µC e −5 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 50 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +10 µCq2 = −5 µCr = 50 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
L = 50 cm20°qq

Due palline identiche, ciascuna di massa 5 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 50 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 20° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 30 ΩR5 = 6 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
R = 50 Ωt = 0L68 mHi(t)

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,5 A? Trova t.

i(0) = 2 AR = 50 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 5 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 9,2 V? Trova t.

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 150 cm², N = 100B = 0,3 T

Una bobina di 100 spire ha un’area di 150 cm². La bobina si trova in un campo uniforme di 0,3 T perpendicolare al suo piano, e il campo viene spento in 20 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 100A = 150 cm²B = 0,3 TΔt = 20 ms
ε = V
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
L1​ = 40 mH200 A/sL2​ = 50 mHk = 0,4ε = ?

Due bobine con autoinduttanze di 40 mH e 50 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,4. La corrente nella prima bobina varia a 200 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L1 = 40 mHL2 = 50 mHk = 0,4di/dt = 200 A/s
ε = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 5000 HzRL = 2 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 2 mH deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 5000 HzL = 2 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
10 V500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 47 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,2248 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (10 + −5)/2 = 2,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,2248 N

Risposta

F = 0,2248 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 482 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 4,82 × 10⁻⁷ C = 482 nC

Risposta

q = 482 nC
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 2,833 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω
Req = R1 + 1,789 = 2 + 1,789 = 3,789 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 12/3,789 = 3,167 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 3,167·2 = 5,667 V
IR2 = VA/R2 = 5,667/2 = 2,833 A

Risposta

IR2 = 2,833 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 6,777 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 6 + 10 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 10,43 Ω
R3 + 10,43 = 15,43 Ω
R2 ∥ 15,43 = 3,777 Ω
Req = R1 + 3,777 = 3 + 3,777 = 6,777 Ω

Risposta

Req = 6,777 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 1,885 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

Risolvi per il tempo

0,5 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/0,5)
t = 1,36·ln(4) = 1,885 ms

Risposta

t = 1,885 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 30,24 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

9,2 = 12 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (9,2 − 12)/(5 − 12) = 0,4
t = τ·ln((5 − 12)/(9,2 − 12)) = 33·ln(2,5) = 30,24 ms

Risposta

t = 30,24 ms
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 22,5 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 0,3·0,015 = 0,0045 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0045/0,02 = 22,5 V

Risposta

ε = 22,5 V
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 3,578 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = 0,4·√(40·50) = 17,89 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,01789·200 = 3,578 V

Risposta

ε = 3,578 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 0,5066 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,002) = 0,5066 µF

Risposta

C = 0,5066 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,01588 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (621,5)²) = 629,5 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/629,5 = 0,01588 A

Risposta

I = 0,01588 A

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