Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −5 µC e −10 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 50 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −5 µCq2 = −10 µCr = 50 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 5 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 3 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.
q1 = 2 µCq2 = 3 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.
V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 25 ΩR5 = 25 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione vL ai capi dell’induttore in t = 1 ms.
Vs = 15 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms
vL = V
6.Transitori RC e RLDifficile
Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 15 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 9,48 V, esattamente 200 ms dopo l’avvio. Con C = 47 µF, trova la resistenza R necessaria.
Vs = 15 VVth = 9,48 VT = 200 msC = 47 µF
R = kΩ
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Un elettrone descrive una circonferenza in un campo magnetico uniforme di 2,5 mT. Trova il tempo T che impiega per un giro.
m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 2,5 mT
T = ns
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Una particella alfa attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 8 × 10⁴ V/m e B₁ = 0,05 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,4 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0,05 TB2 = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie ha R = 2 Ω, L = 1 mH e C = 0,1 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.
R = 2 ΩL = 1 mHC = 0,1 µF
Q =
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 2,023 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Carica dopo il contatto
q′ = (−5 + −10)/2 = −7,5 µC
Nuova forza
F = 8,99 × 10⁹·(7,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 2,023 N
Risposta
F = 2,023 N
Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 150,5 N
Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.
Ogni forza su q₃
F1 = k·2·5 × 10⁻¹²/0,08² = 14,05 N
F2 = k·3·5 × 10⁻¹²/0,03² = 149,8 N
Somma vettoriale
F = √(14,05² + 149,8²) = 150,5 N
Risposta
F = 150,5 N
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 2,277 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
Req = R1 + 5,538 = 5 + 5,538 = 10,54 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 24/10,54 = 2,277 A
Risposta
IR1 = 2,277 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: Req = 27,87 Ω
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 25 + 4 = 29 Ω
R4 ∥ 29 = 13,43 Ω
R3 + 13,43 = 43,43 Ω
R2 ∥ 43,43 = 15,87 Ω
Req = R1 + 15,87 = 12 + 15,87 = 27,87 Ω
Risposta
Req = 27,87 Ω
5.Transitori RC e RL
Risposta: vL = 5,518 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo e corrente finale
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/100 = 0,15 A
Tensione sull’induttore
In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/1 = 5,518 V
Risposta
vL = 5,518 V
6.Transitori RC e RL
Risposta: R = 4,257 kΩ
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo richiesta
9,48 = 15·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 9,48))
τ = 200/0,9997 = 200,1 ms
Resistenza
kΩ per µF dà millisecondi.
R = τ/C = 200,1/47 = 4,257 kΩ
Risposta
R = 4,257 kΩ
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: T = 14,29 ns
Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Periodo del moto circolare
Una particella più veloce descrive una circonferenza più grande, quindi il tempo per giro resta lo stesso.
T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0025) = 14,29 ns
Risposta
T = 14,29 ns
La velocità non serve: per questo un ciclotrone può usare un’unica frequenza fissa.
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: r = 8,296 cm
Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Velocità selezionata
Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0,05 = 1,6 × 10⁶ m/s
Raggio nel secondo campo
r = mv/(|q|B2) = 0,08296 m = 8,296 cm
Risposta
r = 8,296 cm
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,1527 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−326,1)²) = 327,4 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 50/327,4 = 0,1527 A
Risposta
I = 0,1527 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: Q = 50
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Frequenza di risonanza
f0 = 1/(2π·√(0,001·0,1·10⁻⁶)) = 15915 Hz
Fattore di qualità
Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,001/(0,1·10⁻⁶)) = 50
Risposta
Q = 50
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