Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC++1 µCP50 cm

Una carica di +2 µC e una carica di +1 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 30 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +2 µCq2 = +1 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
+−P2 × 6 cm6 cm+1 µC−1 µC

Cariche di +1 µC e −1 µC distano 12 cm. Il punto P si trova a 6 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +1 µCq2 = −1 µCd = 12 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​8 Ω

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 ΩR5 = 3 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​24 Vt = 0R = 15 ΩL22 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione vL ai capi dell’induttore in t = 1 ms.

Vs = 24 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​9 Vt = 0R = 2,2 kΩC?+−vC​

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 9 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 4,5 V, esattamente 500 ms dopo l’avvio. Con R = 2,2 kΩ, trova la capacità C necessaria.

Vs = 9 VVth = 4,5 VT = 500 msR = 2,2 kΩ
C = µF
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 20 cm², N = 250B: 0 → 0,4 T

Una bobina di 250 spire ha un’area di 20 cm². Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,4 T in 250 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 250A = 20 cm²B: 0 T → 0,4 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
L1​ = 10 mH1000 A/sL2​ = 200 mHk = 0,3ε = ?

Due bobine con autoinduttanze di 10 mH e 200 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,3. La corrente nella prima bobina varia a 1000 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L1 = 10 mHL2 = 200 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
ε = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
50 V100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 50 ΩL = 10 mHC = 1 µF

Un circuito RLC serie ha R = 50 Ω, L = 10 mH e C = 1 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 1 µF
Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 24972 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,3² = 199778 N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0,2² = 224750 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |199778 − 224750| = 24972 N/C

Risposta

E = 24972 N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,766 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distanza e campo di una carica

r = √(6² + 6²) = 8,485 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,08485² = 1,249 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,249 × 10⁶·0,7071 = 1,766 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,766 × 10⁶ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 10 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 6·30/(6+30) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 5 + 5 = 10 Ω

Risposta

Req = 10 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,2593 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​8 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 3 + 8 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 4,632 Ω
R3 + 4,632 = 14,63 Ω
R2 ∥ 14,63 = 3,141 Ω
Req = R1 + 3,141 = 20 + 3,141 = 23,14 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 6/23,14 = 0,2593 A

Risposta

IR1 = 0,2593 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: vL = 12,14 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms
i(∞) = Vs/R = 24/15 = 1,6 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−1/1,467 = 12,14 V

Risposta

vL = 12,14 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 327,9 µF

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo richiesta

4,5 = 9·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 4,5))
τ = 500/0,6931 = 721,3 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 721,3/2,2 = 327,9 µF

Risposta

C = 327,9 µF
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 800 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,4 − 0)·0,002 = 0,0008 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0008/0,25 = 0,8 V

Risposta

ε = 800 mV
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 13,42 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = 0,3·√(10·200) = 13,42 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,01342·1000 = 13,42 V

Risposta

ε = 13,42 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,103 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−21,3)²) = 45,32 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/45,32 = 1,103 A

Risposta

I = 1,103 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 2

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(1·10⁻⁶)) = 2

Risposta

Q = 2

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