Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +6 µC e +1 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 40 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = +1 µCr = 40 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 8 cm e il campo tra di esse è 2800 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.
v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 2800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore vC in t = 75 ms.
Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µFt = 75 ms
vC = V
6.Transitori RC e RLDifficile
Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 24 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 18 V? Trova t.
Vs = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. L’intensità del campo sta aumentando. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.
B: verso l’interno della paginadB/dt > 0
- 1oraria
- 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 1000 spire, una lunghezza di 10 cm e un diametro di 4 cm. Trova la sua autoinduttanza L.
N = 1000l = 10 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 100 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 10 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace VL ai capi dell’induttore.
V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF
VL = V
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 0,6883 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Carica dopo il contatto
q′ = (6 + 1)/2 = 3,5 µC
Nuova forza
F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,6883 N
Risposta
F = 0,6883 N
Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: y = 2,521 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tempo tra le armature
t = L/v₀ = 0,08/2,5 × 10⁷ = 3,2 × 10⁻⁹ s
Accelerazione laterale
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2800/9,109 × 10⁻³¹ = 4,924 × 10¹⁴ m/s²
Freccia
y = ½·a·t² = ½·4,924 × 10¹⁴·(3,2 × 10⁻⁹)² = 0,002521 m = 2,521 mm
Risposta
y = 2,521 mm
L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 3,582 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 3·27/(3+27) = 2,7 Ω
Req = R1 + 2,7 = 4 + 2,7 = 6,7 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 24/6,7 = 3,582 A
Risposta
IR1 = 3,582 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 1,979 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 3,636 Ω
R3 + 3,636 = 23,64 Ω
R2 ∥ 23,64 = 4,127 Ω
Req = R1 + 4,127 = 8 + 4,127 = 12,13 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 24/12,13 = 1,979 A
Risposta
IR1 = 1,979 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 1,532 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Equivalente di Thévenin visto dal condensatore
Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ
vC(∞) = 30·1/(10 + 1) = 2,727 V
Costante di tempo
τ = Rth·C = 0,9091·100 = 90,91 ms
Curva di carica
vC(t) = 2,727·(1 − e−75/90,91) = 1,532 V
Risposta
vC = 1,532 V
6.Transitori RC e RL
Risposta: t = 51,08 ms
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Valore iniziale, valore finale, costante di tempo
La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.
vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 9 + (24 − 9)·e−t/τ
Risolvi per il tempo
18 = 9 + (15)·e−t/τ → e−t/τ = (18 − 9)/(24 − 9) = 0,6
t = τ·ln((24 − 9)/(18 − 9)) = 100·ln(1,667) = 51,08 ms
Risposta
t = 51,08 ms
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: antioraria
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso
Il flusso entrante nella pagina aumenta, oppure il flusso uscente dalla pagina diminuisce.
Campo della corrente indotta
La corrente indotta si oppone alla variazione.
Campo indotto all’interno della spira: uscente dalla pagina.
Verso della corrente
Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.
antioraria
Risposta
antioraria
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: L = 15,79 mH
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Sezione trasversale
A = π·(0,02)² = 0,001257 m²
Autoinduttanza
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,001257/0,1 = 0,01579 H = 15,79 mH
Risposta
L = 15,79 mH
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 2,162 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (46,71)²) = 55,51 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 120/55,51 = 2,162 A
Risposta
I = 2,162 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: VL = 28,28 V
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Risonanza
In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·10·10⁻⁶) = 707,1 rad/s
I = V/R = 10/50 = 0,2 A
Tensione ai capi dell’induttore
XL = ω₀L = 707,1·0,2 = 141,4 Ω
VL = I·XL = 0,2·141,4 = 28,28 V
Risposta
VL = 28,28 V
Questo è Q = 2,828 volte la tensione di alimentazione.
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