Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +2 µC e −5 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 20 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −5 µCr = 20 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +4 µC e −4 µC distano 12 cm. Il punto P si trova a 12 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 12 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 30 ms.

V_s = 30 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 30 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una particella alfa che si muove a 1,5 × 10⁶ m/s entra in un campo magnetico uniforme ad angolo retto e descrive una circonferenza di raggio 3,111 cm. Trova la densità di flusso magnetico B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1,5 × 10⁶ m/sr = 3,111 cm

B = T

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina corta di 50 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 500 spire, lunghezza 40 cm e diametro 5 cm. Trova la loro mutua induttanza M.

N₁ = 500N₂ = 50l = 40 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 50 Hz. Trova il fattore di potenza cos φ del circuito.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 5 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,5057 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (2 + −5)/2 = −1,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,5057 N

Risposta

F = 0,5057 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,787 × 10⁶ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(6² + 12²) = 13,42 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1342² = 1,998 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,998 × 10⁶·0,4472 = 1,787 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,787 × 10⁶ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,047 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 6·9/(6+9) = 3,6 Ω

R_eq = R₁ + 3,6 = 5 + 3,6 = 8,6 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,6 = 1,744 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,744·5 = 6,279 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,279/6 = 1,047 A

Risposta

I_R2 = 1,047 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,8562 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 4,219 Ω

R₃ + 4,219 = 8,219 Ω

R₂ ∥ 8,219 = 4,511 Ω

R_eq = R₁ + 4,511 = 6 + 4,511 = 10,51 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/10,51 = 0,8562 A

Risposta

I_R1 = 0,8562 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 2,071 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/4,7 = 2,071 V

Risposta

v_L = 2,071 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 3,386 V

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 30·1/(4,7 + 1) = 5,263 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 1·68 = 68 ms

Scarica

v_C(t) = 5,263·e^−30/68 = 3,386 V

Risposta

v_C = 3,386 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 1 T

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo dal raggio

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·1,5 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,03111) = 1 T

Risposta

B = 1 T

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: M = 154,2 µH

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·50·0,001963/0,4 = 154,2 µH

Risposta

M = 154,2 µH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: cos φ = 0,3793

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 47,12 Ω, X_C = 144,7 Ω

Impedenza

|Z| = √(40² + (−97,56)²) = 105,4 Ω

Fattore di potenza

cos φ = R/|Z| = 40/105,4 = 0,3793

Il circuito è capacitivo, quindi il fattore di potenza è capacitivo (in anticipo).

Risposta

cos φ = 0,3793

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 15,81 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·31,62 = 15,81 V

Risposta

V_L = 15,81 V

Questo è Q = 3,162 volte la tensione di alimentazione.

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