Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +1 µC e una carica di −10 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 30 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 2 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 10 µC si trova a 5 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 3 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 5 ms, in mJ.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 200 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 200 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 20 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 20 A e 5 A nello stesso verso. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I₁ = 20 AI₂ = 5 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 1 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,5 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,4 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 0,4 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 500 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 1 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 9,09 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |99889 + 8,99 × 10⁶| = 9,09 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 9,09 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 79,43 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·10·2 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

Somma vettoriale

F = √(71,92² + 33,71²) = 79,43 N

Risposta

F = 79,43 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,3158 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 15 + 4 = 19 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/19 = 0,4737 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,4737·15 = 1,895 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,895/6 = 0,3158 A

Risposta

I_R2 = 0,3158 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,76 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4,759 Ω

R₃ + 4,759 = 9,759 Ω

R₂ ∥ 9,759 = 2,837 Ω

R_eq = R₁ + 2,837 = 2 + 2,837 = 4,837 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/4,837 = 2,481 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 2,481·2 = 7,038 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,038/4 = 1,76 A

Risposta

I_R2 = 1,76 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 1,722 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,1915·(1 − e^−5/3,191) = 0,1515 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·150·0,1515² = 1,722 mJ

Risposta

W = 1,722 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 10,65 V

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 24·10/(6,8 + 10) = 14,29 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Scarica

v_C(t) = 14,29·e^−200/680 = 10,65 V

Risposta

v_C = 10,65 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 100 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·5/0,2 = 100 µN/m

Risposta

F/L = 100 µN/m

Correnti nello stesso verso si attraggono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,5222 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,5 = 200000 m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,005222 m = 0,5222 cm

Risposta

r = 0,5222 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 71,89 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (152,9)²) = 160,9 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152,9/50) = 71,89°

Risposta

φ = 71,89°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,7552 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−129)²) = 132,4 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 100/132,4 = 0,7552 A

Risposta

I = 0,7552 A

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