Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +10 µC e +8 µC distano 60 cm. A quale distanza x dalla carica di +10 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCd = 60 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 10 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 30 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 10° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 30 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 99% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 15 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 50 ms.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 15 Vt = 50 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un elettrone si muove a 4 × 10⁶ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 20 mT. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 20 mT

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Due bobine con autoinduttanze di 50 mH e 200 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,4. La corrente nella prima bobina varia a 200 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L₁ = 50 mHL₂ = 200 mHk = 0,4di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 31,67 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

10/x² = 8/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(8/10) = 0,8944

Posizione

x = 60/(1 + 0,8944) = 31,67 cm

Risposta

x = 31,67 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 144,5 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 10° = 0,0173 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 10° = 0,1042 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1042·√(0,0173/8,99 × 10⁹) = 1,445 × 10⁻⁷ C = 144,5 nC

Risposta

q = 144,5 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 6,286 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 10 + 20 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 5·30/(5+30) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 2 + 4,286 = 6,286 Ω

Risposta

R_eq = 6,286 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,3502 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 8,919 Ω

R₃ + 8,919 = 14,92 Ω

R₂ ∥ 14,92 = 4,279 Ω

R_eq = R₁ + 4,279 = 10 + 4,279 = 14,28 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/14,28 = 0,3502 A

Risposta

I_R1 = 0,3502 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 10,82 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Risolvi per il tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −2,35·ln(0,01) = 10,82 ms

Risposta

t = 10,82 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 11,46 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (15 − 6)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(50) = 6 + (9)·e^−50/100 = 11,46 V

Risposta

v_C = 11,46 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,1137 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 9,109 × 10⁻³¹·4 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,02) = 0,001137 m = 0,1137 cm

Risposta

r = 0,1137 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 8 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = 0,4·√(50·200) = 40 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,04·200 = 8 V

Risposta

ε = 8 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −80,76 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−614,4)²) = 622,5 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−614,4/100) = −80,76°

Risposta

φ = −80,76°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,244 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−7,676)²) = 80,37 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 100/80,37 = 1,244 A

Risposta

I = 1,244 A

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