Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++6 µC++4 µCE = 050 cm

Cariche di +6 µC e +4 µC distano 50 cm. A quale distanza x dalla carica di +6 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q1 = +6 µCq2 = +4 µCd = 50 cm
x = cm
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
8 cm3 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +6 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 4 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 6 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 4 µCr13 = 8 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​6 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBR6​30 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 6,8 kΩC220 µF+−vC​

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore vC in t = 200 ms.

Vs = 30 VR1 = 2,2 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µFt = 200 ms
vC = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 Vt = 0R = 2,2 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 12 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 50 ms.

Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 22 µFvC(0) = 12 Vt = 50 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 2,5 Ωv = 4 m/sL = 25 cmB = 0,1 T

Un’asta metallica lunga 25 cm scorre a 4 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,1 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 2,5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la forza F necessaria per mantenere l’asta in movimento a velocità costante (senza attrito).

B = 0,1 TL = 25 cmv = 4 m/sR = 2,5 Ω
F = mN
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 3600 rpm10 cm × 15 cmN = 100B = 0,4 T

Una bobina di 100 spire, 10 cm × 15 cm, ruota a 3600 giri/min in un campo uniforme di 0,4 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 100A = 10 cm × 15 cmB = 0,4 Tn = 3600 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
100 V200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 200 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
12 V500 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 40 ΩC = 22 µFI

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩC = 22 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 27,53 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

6/x² = 4/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(4/6) = 0,8165

Posizione

x = 50/(1 + 0,8165) = 27,53 cm

Risposta

x = 27,53 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 243,9 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N
F2 = k·6·4 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Somma vettoriale

F = √(44,95² + 239,7²) = 243,9 N

Risposta

F = 243,9 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 11,43 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​6 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 2 + 6 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Req = R1 + 3,429 = 8 + 3,429 = 11,43 Ω

Risposta

Req = 11,43 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 17,52 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBR6​30 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 16,15 Ω
R3 + 16,15 = 18,15 Ω
R2 ∥ 18,15 = 9,516 Ω
Req = R1 + 9,516 = 8 + 9,516 = 17,52 Ω

Risposta

Req = 17,52 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 9,549 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·6,8/(2,2 + 6,8) = 1,662 kΩ
vC(∞) = 30·6,8/(2,2 + 6,8) = 22,67 V

Costante di tempo

τ = Rth·C = 1,662·220 = 365,7 ms

Curva di carica

vC(t) = 22,67·(1 − e−200/365,7) = 9,549 V

Risposta

vC = 9,549 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 13,93 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(50) = 15 + (−3)·e−50/48,4 = 13,93 V

Risposta

vC = 13,93 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F = 1 mN

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,1·0,25·4 = 0,1 V

Corrente

I = ε/R = 0,1/2,5 = 0,04 A

Forza frenante

Legge di Lenz: la forza sulla corrente indotta si oppone al moto.

F = BIL = 0,1·0,04·0,25 = 0,001 N

Risposta

F = 1 mN
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 226,2 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0,015 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,015·377 = 226,2 V

Risposta

E0 = 226,2 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 75,29 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (152,3)²) = 157,5 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(152,3/40) = 75,29°

Risposta

φ = 75,29°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,2585 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 4,628 − j12,79 Ω

Impedenza totale

Z = 40 + 4,628 − j12,79 = 44,63 − j12,79 Ω
|Z| = √(44,63² + 12,79²) = 46,43 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 12/46,43 = 0,2585 A

Risposta

I = 0,2585 A

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