Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++3 µC−−5 µC−−3 µC6 cm + 4 cm

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +3 µC a sinistra, −3 µC a destra a 10 cm di distanza, e −5 µC tra loro, a 6 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +3 µCqR = −3 µCqM = −5 µCrL = 6 cmrR = 4 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
10 cm3 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +3 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 1 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 6 µC si trova a 10 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 3 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 6 µCq2 = 3 µCq3 = 1 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 25 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL33 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 33 mH
W(∞) = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​12 Vt = 0R = 2,2 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 2 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 120 ms.

Vs = 12 VR = 2,2 kΩC = 22 µFvC(0) = 2 Vt = 120 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 2,5 Ωv = 4 m/sL = 20 cmB = 0,8 T

Un’asta metallica lunga 20 cm scorre a 4 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,8 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 2,5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la potenza P dissipata nel resistore.

B = 0,8 TL = 20 cmv = 4 m/sR = 2,5 Ω
P = mW
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
I = 0,5 Al = 10 cmN = 500, ⌀ 5 cm

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 500 spire, una lunghezza di 10 cm e un diametro di 5 cm. Trova l’energia W immagazzinata nel suo campo magnetico quando è percorso da 0,5 A.

N = 500l = 10 cm⌀ = 5 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Impedenza AC e fasoriMedia
50 V1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 1000 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
10 V200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 200 Hz. Trova la frequenza di risonanza f0 del circuito.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF
f0 = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 121,7 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

FL = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,06² = −37,46 N
FR = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,04² = −84,28 N

Forza risultante

F = −37,46 + (−84,28) = −121,7 N → |F| = 121,7 N

Risposta

F = 121,7 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 30,45 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·6·1 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N
F2 = k·3·1 × 10⁻¹²/0,03² = 29,97 N

Somma vettoriale

F = √(5,394² + 29,97²) = 30,45 N

Risposta

F = 30,45 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 1,946 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​4 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 4 + 2,727 = 6,727 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 24/6,727 = 3,568 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 3,568·4 = 9,73 V
IR2 = VA/R2 = 9,73/5 = 1,946 A

Risposta

IR2 = 1,946 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 30,19 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 25 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 3 + 4 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 1,556 Ω
R3 + 1,556 = 6,556 Ω
R2 ∥ 6,556 = 5,194 Ω
Req = R1 + 5,194 = 25 + 5,194 = 30,19 Ω

Risposta

Req = 30,19 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 1,485 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0,3 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0,3² = 1,485 mJ

Risposta

W(∞) = 1,485 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 11,16 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms
vC(t) = 12 + (2 − 12)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(120) = 12 + (−10)·e−120/48,4 = 11,16 V

Risposta

vC = 11,16 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: P = 163,8 mW

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,8·0,2·4 = 0,64 V

Corrente

I = ε/R = 0,64/2,5 = 0,256 A

Potenza

P = εI = 0,64·0,256 = 0,1638 W

Risposta

P = 163,8 mW
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: W = 771,1 µJ

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 6,169 mH

Energia immagazzinata

W = ½LI² = ½·0,006169·0,5² = 0,0007711 J = 771,1 µJ

Risposta

W = 771,1 µJ
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 76,41 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (124,1)²) = 127,6 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(124,1/30) = 76,41°

Risposta

φ = 76,41°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f0 = 112,5 Hz

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Risposta

f0 = 112,5 Hz

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