Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +8 µC e +6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 20 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCr = 20 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 8 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 40 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 5° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 40 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente dell’induttore i a t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 500 spire ha un’area di 200 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 100 ms in un campo uniforme di 0,2 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 500A = 200 cm²B = 0,2 TΔt = 100 ms

ε = V

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 10000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,5 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,5 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 1000 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 5 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 11,01 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (8 + 6)/2 = 7 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(7 × 10⁻⁶)²/0,2² = 11,01 N

Risposta

F = 11,01 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 60,93 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 5° = 0,006866 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 5° = 0,06972 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06972·√(0,006866/8,99 × 10⁹) = 6,093 × 10⁻⁸ C = 60,93 nC

Risposta

q = 60,93 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 10,89 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8,889 Ω

R_eq = R₁ + 8,889 = 2 + 8,889 = 10,89 Ω

Risposta

R_eq = 10,89 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 13,32 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 26,06 Ω

R₂ ∥ 26,06 = 11,32 Ω

R_eq = R₁ + 11,32 = 2 + 11,32 = 13,32 Ω

Risposta

R_eq = 13,32 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 1,325 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/2,061 = 1,325 V

Risposta

v_L = 1,325 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,4987 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.

i(0) = 12/10 = 1,2 A

i(∞) = 12/(10 + 33) = 0,2791 A

τ = L/R = 150/43 = 3,488 ms

i(t) = 0,2791 + (1,2 − 0,2791)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(5) = 0,2791 + (0,9209)·e^−5/3,488 = 0,4987 A

Risposta

i = 0,4987 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 40 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 2·0,2·0,02 = 0,008 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,008/0,1 = 40 V

Risposta

ε = 40 V

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 2,89 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 1,384 × 10⁶ m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,0289 m = 2,89 cm

Risposta

r = 2,89 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 83,84 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (556)²) = 559,2 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(556/60) = 83,84°

Risposta

φ = 83,84°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 30,15 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0,1 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·301,5 = 30,15 V

Risposta

V_L = 30,15 V

Questo è Q = 6,03 volte la tensione di alimentazione.

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