Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +5 µC e una carica di +2 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 30 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +5 µCq₂ = +2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 1 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 6 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 300 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 300 ms

v_C = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 15 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 7,5 V, esattamente 100 ms dopo l’avvio. Con C = 2,2 µF, trova la resistenza R necessaria.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 100 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 6 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 10 A e 20 A nello stesso verso. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I₁ = 10 AI₂ = 20 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 2000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩC = 47 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 500 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 49944 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |499444 − 449500| = 49944 N/C

Risposta

E = 49944 N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 11,35 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·4·1 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

F₂ = k·6·1 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

Somma vettoriale

F = √(9,989² + 5,394²) = 11,35 N

Risposta

F = 11,35 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,6792 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 4 + 5,217 = 9,217 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,217 = 1,953 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,953·4 = 10,19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,19/15 = 0,6792 A

Risposta

I_R2 = 0,6792 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,7018 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 1,714 Ω

R₃ + 1,714 = 13,71 Ω

R₂ ∥ 13,71 = 9,412 Ω

R_eq = R₁ + 9,412 = 4 + 9,412 = 13,41 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/13,41 = 2,237 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,237·4 = 21,05 V

I_R2 = V_A/R₂ = 21,05/30 = 0,7018 A

Risposta

I_R2 = 0,7018 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 6,186 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·3,3/(10 + 3,3) = 2,481 kΩ

v_C(∞) = 30·3,3/(10 + 3,3) = 7,444 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 2,481·68 = 168,7 ms

Curva di carica

v_C(t) = 7,444·(1 − e^−300/168,7) = 6,186 V

Risposta

v_C = 6,186 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: R = 65,58 kΩ

Costante di tempo richiesta

7,5 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 100/0,6931 = 144,3 ms

Resistenza

kΩ per µF dà millisecondi.

R = τ/C = 144,3/2,2 = 65,58 kΩ

Risposta

R = 65,58 kΩ

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 666,7 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·10·20/0,06 = 666,7 µN/m

Risposta

F/L = 666,7 µN/m

Correnti nello stesso verso si attraggono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,142 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 437752 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,01142 m = 1,142 cm

Risposta

r = 1,142 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,3677 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

I_R = V/R = 12/40 = 0,3 A

I_X = V/X_C = 12/56,44 = 0,2126 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,3² + 0,2126²) = 0,3677 A

Risposta

I = 0,3677 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 189,6 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·4,7·10⁻⁶)) = 189,6 Hz

Risposta

f₀ = 189,6 Hz

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