Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +5 µC e +3 µC distano 80 cm. A quale distanza x dalla carica di +5 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +5 µCq₂ = +3 µCd = 80 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 4 cm e il campo tra di esse è 1100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 1100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 15 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 10 ms.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 15 Vt = 10 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone che si muove a 2 × 10⁶ m/s entra in un campo magnetico uniforme ad angolo retto e descrive una circonferenza di raggio 5,222 cm. Trova la densità di flusso magnetico B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 5,222 cm

B = T

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 150 spire, 20 cm × 10 cm, ruota a 3600 giri/min in un campo uniforme di 0,05 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E₀.

N = 150A = 20 cm × 10 cmB = 0,05 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie con C = 22 µF deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.

f₀ = 5000 HzC = 22 µF

L = mH

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 5 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 5 V (rms)R = 2 ΩL = 10 mHC = 1 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 45,08 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

5/x² = 3/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(3/5) = 0,7746

Posizione

x = 80/(1 + 0,7746) = 45,08 cm

Risposta

x = 45,08 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 1,548 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,04/1 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1100/9,109 × 10⁻³¹ = 1,935 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·1,935 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,001548 m = 1,548 mm

Risposta

y = 1,548 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,7621 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 2·19/(2+19) = 1,81 Ω

R_eq = R₁ + 1,81 = 10 + 1,81 = 11,81 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11,81 = 0,7621 A

Risposta

I_R1 = 0,7621 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,3174 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 7,034 Ω

R₃ + 7,034 = 19,03 Ω

R₂ ∥ 19,03 = 9,753 Ω

R_eq = R₁ + 9,753 = 6 + 9,753 = 15,75 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/15,75 = 0,3174 A

Risposta

I_R1 = 0,3174 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 5,177 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0,3 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/0,94 = 5,177 V

Risposta

v_L = 5,177 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 13,1 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 12 + (15 − 12)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(10) = 12 + (3)·e^−10/10 = 13,1 V

Risposta

v_C = 13,1 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 0,4 T

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo dal raggio

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,05222) = 0,4 T

Risposta

B = 0,4 T

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E₀ = 56,55 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,02 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 150·0,05·0,02·377 = 56,55 V

Risposta

E₀ = 56,55 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: L = 0,04606 mH

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·22·10⁻⁶) = 0,04606 mH

Risposta

L = 0,04606 mH

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 250 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 5/2 = 2,5 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 10000·0,01 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 2,5·100 = 250 V

Risposta

V_L = 250 V

Questo è Q = 50 volte la tensione di alimentazione.

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