Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −8 µC e +6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 40 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +6 µCr = 40 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 8 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 10 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 10 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 15 ms.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente dell’induttore i a t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 5 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 2 A e 12 A nello stesso verso. Trova il modulo della densità di flusso magnetico B nel punto P, a metà tra di essi.

I₁ = 2 AI₂ = 12 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

In un selettore di velocità, campi incrociati E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,4 T lasciano passare in linea retta solo gli ioni di una certa velocità. Trova quella velocità v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,4 T

v = m/s

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,05619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−8 + 6)/2 = −1 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,05619 N

Risposta

F = 0,05619 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 204,8 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N

F₂ = k·10·8 × 10⁻¹²/0,06² = 199,8 N

Somma vettoriale

F = √(44,95² + 199,8²) = 204,8 N

Risposta

F = 204,8 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,8976 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω

R_eq = R₁ + 3,684 = 3 + 3,684 = 6,684 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,684 = 0,8976 A

Risposta

I_R1 = 0,8976 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 43,64 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 5 Ω

R₃ + 5 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 13,64 Ω

R_eq = R₁ + 13,64 = 30 + 13,64 = 43,64 Ω

Risposta

R_eq = 43,64 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,244 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2727·(1 − e^−15/6,667) = 0,244 A

Risposta

i = 0,244 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,437 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.

i(0) = 9/15 = 0,6 A

i(∞) = 9/(15 + 10) = 0,36 A

τ = L/R = 22/25 = 0,88 ms

i(t) = 0,36 + (0,6 − 0,36)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(1) = 0,36 + (0,24)·e^−1/0,88 = 0,437 A

Risposta

i = 0,437 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 80 µT

Campo magnetico delle correnti: attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze (regola della mano destra) con B = μ₀I/(2πr). Al centro di una bobina circolare piana di N spire, B = μ₀NI/(2R). All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, B = μ₀nI con n = N/L spire per metro, qualunque sia il raggio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Lavora in unità SI (metri e ampere) e somma vettorialmente i campi di più sorgenti.

Campo di ciascun filo in P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·2/0,025 = 16 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,025 = 96 µT

Combina

B = |B₁ − B₂| = 80 µT

Risposta

B = 80 µT

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: v = 100000 m/s

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,4 = 100000 m/s

Risposta

v = 100000 m/s

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,4904 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (468,1)²) = 469 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/469 = 0,4904 A

Risposta

I = 0,4904 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 0,1793 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (939,1)²) = 944,4 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/944,4 = 0,05294 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,05294·3,386 = 0,1793 V

Risposta

V_C = 0,1793 V

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