Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +6 µC e +1 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 15 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +1 µCr = 15 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +3 µC e −3 µC distano 10 cm. Il punto P si trova a 12 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 10 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 10 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 100 ms.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 10 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 15 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 8 A e 30 A nello stesso verso. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I₁ = 8 AI₂ = 30 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 500 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un resistore R₁ è collegato in serie a un parallelo tra R₂ e un condensatore C, a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 4,895 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (6 + 1)/2 = 3,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 4,895 N

Risposta

F = 4,895 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,228 × 10⁶ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(5² + 12²) = 13 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,13² = 1,596 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,596 × 10⁶·0,3846 = 1,228 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,228 × 10⁶ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,5077 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 20·35/(20+35) = 12,73 Ω

R_eq = R₁ + 12,73 = 5 + 12,73 = 17,73 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/17,73 = 0,5077 A

Risposta

I_R1 = 0,5077 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,1707 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 15 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 13,33 Ω

R₃ + 13,33 = 23,33 Ω

R₂ ∥ 23,33 = 10,77 Ω

R_eq = R₁ + 10,77 = 5 + 10,77 = 15,77 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/15,77 = 0,3171 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3171·5 = 3,415 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,415/20 = 0,1707 A

Risposta

I_R2 = 0,1707 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 2 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,2² = 2 mJ

Risposta

W(∞) = 2 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 13 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 15 + (10 − 15)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(100) = 15 + (−5)·e^−100/108,9 = 13 V

Risposta

v_C = 13 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 320 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·30/0,15 = 320 µN/m

Risposta

F/L = 320 µN/m

Correnti nello stesso verso si attraggono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,8077 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,008077 m = 0,8077 cm

Risposta

r = 0,8077 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −69,87 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−81,85)²) = 87,18 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−81,85/30) = −69,87°

Risposta

φ = −69,87°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,629 A

Reattanza

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Z_p in parte reale e parte immaginaria.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14,34 − j9,01 Ω

Impedenza totale

Z = 15 + 14,34 − j9,01 = 29,34 − j9,01 Ω

|Z| = √(29,34² + 9,01²) = 30,69 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 50/30,69 = 1,629 A

Risposta

I = 1,629 A

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