Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +3 µC e una carica di +2 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 30 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +3 µCq₂ = +2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 10 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 100 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 8° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 1 ms, in mJ.

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 12 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 13,2 V? Trova t.

V_s = 15 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un filo è percorso da una corrente verso il basso in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica sul filo.

I: verso il bassoB: verso l’esterno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 2 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,1 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,4 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,4 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 500 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 149833 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |299667 − 449500| = 149833 N/C

Risposta

E = 149833 N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 344,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0,2783 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2783·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 3,447 × 10⁻⁷ C = 344,7 nC

Risposta

q = 344,7 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,378 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 15·32/(15+32) = 10,21 Ω

R_eq = R₁ + 10,21 = 6 + 10,21 = 16,21 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16,21 = 0,5551 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,5551·6 = 5,669 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,669/15 = 0,378 A

Risposta

I_R2 = 0,378 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,483 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 8 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 2,75 Ω

R₃ + 2,75 = 12,75 Ω

R₂ ∥ 12,75 = 6,182 Ω

R_eq = R₁ + 6,182 = 10 + 6,182 = 16,18 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/16,18 = 1,483 A

Risposta

I_R1 = 1,483 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 0,5492 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0,303 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,303·(1 − e^−1/1,424) = 0,1529 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·47·0,1529² = 0,5492 mJ

Risposta

W = 0,5492 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 112,8 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 15 + (12 − 15)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

13,2 = 15 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13,2 − 15)/(12 − 15) = 0,6

t = τ·ln((12 − 15)/(13,2 − 15)) = 220,9·ln(1,667) = 112,8 ms

Risposta

t = 112,8 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso sinistra

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

I: verso il basso, B: verso l’esterno della pagina

Verso della forza

verso sinistra

Risposta

F: verso sinistra

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 10,44 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,1 = 2 × 10⁶ m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,1044 m = 10,44 cm

Risposta

r = 10,44 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,01577 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−629,2)²) = 634,2 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/634,2 = 0,01577 A

Risposta

I = 0,01577 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 239,9 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·22·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Risposta

f₀ = 239,9 Hz

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