Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++6 µC++10 µCP10 cm

Una carica di +6 µC e una carica di +10 µC si trovano a 10 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 6 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +6 µCq2 = +10 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
4 cm8 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +2 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 3 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 2 µC a 8 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 3 µCq2 = 2 µCq3 = 6 µCr13 = 4 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​5 Vt = 0R = 100 ΩL10 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 75% del suo valore finale? Trova t.

Vs = 5 VR = 100 ΩL = 10 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​12 Vt = 0R = 4,7 kΩC?+−vC​

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 12 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 6 V, esattamente 50 ms dopo l’avvio. Con R = 4,7 kΩ, trova la capacità C necessaria.

Vs = 12 VVth = 6 VT = 50 msR = 4,7 kΩ
C = µF
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 2 Ωv = 8 m/sL = 60 cmB = 0,8 T

Un’asta metallica lunga 60 cm scorre a 8 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,8 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 2 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la potenza P dissipata nel resistore.

B = 0,8 TL = 60 cmv = 8 m/sR = 2 Ω
P = W
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = ?12 cm × 25 cmN = 150B = 0,05 T

Una bobina di 150 spire, 12 cm × 25 cm, ruota in un campo uniforme di 0,05 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 19,99 V?

N = 150A = 12 cm × 25 cmB = 0,05 TErms = 19,99 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 2000 HzRL = 20 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 20 mH deve entrare in risonanza a 2000 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 2000 HzL = 20 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 100 ΩL = 2 mHC = 0,01 µF

Un circuito RLC serie ha R = 100 Ω, L = 2 mH e C = 0,01 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.

R = 100 ΩL = 2 mHC = 0,01 µF
B = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 4,12 × 10⁷ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,06² = 1,498 × 10⁷ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,04² = 5,619 × 10⁷ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |1,498 × 10⁷ − 5,619 × 10⁷| = 4,12 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 4,12 × 10⁷ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 102,5 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·3·6 × 10⁻¹²/0,04² = 101,1 N
F2 = k·2·6 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N

Somma vettoriale

F = √(101,1² + 16,86²) = 102,5 N

Risposta

F = 102,5 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 9,84 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 2·23/(2+23) = 1,84 Ω
Req = R1 + 1,84 = 8 + 1,84 = 9,84 Ω

Risposta

Req = 9,84 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 4,699 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 1,905 Ω
R3 + 1,905 = 4,905 Ω
R2 ∥ 4,905 = 2,699 Ω
Req = R1 + 2,699 = 2 + 2,699 = 4,699 Ω

Risposta

Req = 4,699 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 0,1386 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/100 = 0,05 A

Risolvi per il tempo

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −0,1·ln(0,25) = 0,1386 ms

Risposta

t = 0,1386 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 15,35 µF

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo richiesta

6 = 12·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 6))
τ = 50/0,6931 = 72,13 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 72,13/4,7 = 15,35 µF

Risposta

C = 15,35 µF
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: P = 7,373 W

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,8·0,6·8 = 3,84 V

Corrente

I = ε/R = 3,84/2 = 1,92 A

Potenza

P = εI = 3,84·1,92 = 7,373 W

Risposta

P = 7,373 W
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 1200 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·Erms = 28,27 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 28,27/(150·0,05·0,03) = 125,6 rad/s

Giri al minuto

n = 60·125,6/(2π) = 1200 rpm

Risposta

n = 1200 rpm
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 0,3166 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,02) = 0,3166 µF

Risposta

C = 0,3166 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: B = 7958 Hz

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,002·0,01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,002/(0,01·10⁻⁶)) = 4,472

Larghezza di banda

B = f0/Q = 35588/4,472 = 7958 Hz

Risposta

B = 7958 Hz

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