Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC−−4 µCP20 cm

Una carica di +2 µC e una carica di −4 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 12 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +2 µCq2 = −4 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
6 cm5 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +1 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 8 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 6 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 1 µC a 5 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 6 µCq2 = 1 µCq3 = 8 µCr13 = 6 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 3 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​12 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 25 ms, in mJ.

Vs = 12 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 25 ms
W = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​24 Vt = 0R = 1 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 30 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 25 ms.

Vs = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 30 Vt = 25 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 100 cm², N = 100B = 0,1 T

Una bobina di 100 spire ha un’area di 100 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 40 ms in un campo uniforme di 0,1 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 100A = 100 cm²B = 0,1 TΔt = 40 ms
ε = V
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
I = 4 Al = 10 cmN = 400, ⌀ 2,5 cm

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 400 spire, una lunghezza di 10 cm e un diametro di 2,5 cm. Trova l’energia W immagazzinata nel suo campo magnetico quando è percorso da 4 A.

N = 400l = 10 cm⌀ = 2,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Impedenza AC e fasoriMedia
100 V100 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
1 Vf0​R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 1 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace VL ai capi dell’induttore.

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF
VL = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 6,867 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,12² = 1,249 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,08² = 5,619 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |1,249 × 10⁶ + 5,619 × 10⁶| = 6,867 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 6,867 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 123,3 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·6·8 × 10⁻¹²/0,06² = 119,9 N
F2 = k·1·8 × 10⁻¹²/0,05² = 28,77 N

Somma vettoriale

F = √(119,9² + 28,77²) = 123,3 N

Risposta

F = 123,3 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 11,74 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 15 + 4 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9,744 Ω
Req = R1 + 9,744 = 2 + 9,744 = 11,74 Ω

Risposta

Req = 11,74 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,4874 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 3 + 10 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 7,879 Ω
R3 + 7,879 = 12,88 Ω
R2 ∥ 12,88 = 6,929 Ω
Req = R1 + 6,929 = 30 + 6,929 = 36,93 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 18/36,93 = 0,4874 A

Risposta

IR1 = 0,4874 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 27,57 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 12/22 = 0,5455 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,5455·(1 − e−25/10) = 0,5007 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·220·0,5007² = 27,57 mJ

Risposta

W = 27,57 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 27,52 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 24 + (30 − 24)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(25) = 24 + (6)·e−25/47 = 27,52 V

Risposta

vC = 27,52 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 5 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 2·0,1·0,01 = 0,002 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,002/0,04 = 5 V

Risposta

ε = 5 V
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: W = 7,896 mJ

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 987 µH

Energia immagazzinata

W = ½LI² = ½·0,000987·4² = 0,007896 J = 7,896 mJ

Risposta

W = 7,896 mJ
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 6,506 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−3,349)²) = 15,37 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 100/15,37 = 6,506 A

Risposta

I = 6,506 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: VL = 15,08 V

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s
I = V/R = 1/20 = 0,05 A

Tensione ai capi dell’induttore

XL = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω
VL = I·XL = 0,05·301,5 = 15,08 V

Risposta

VL = 15,08 V

Questo è Q = 15,08 volte la tensione di alimentazione.

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