Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −8 µC e +6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 10 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +6 µCr = 10 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +4 µC e +4 µC distano 20 cm. Il punto P si trova a 8 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +4 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 99% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 3 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 10,2 V? Trova t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 8 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 5 A e 5 A nello stesso verso. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I₁ = 5 AI₂ = 5 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 200 spire, 5 cm × 15 cm, ruota a 3000 giri/min in un campo uniforme di 0,4 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E₀.

N = 200A = 5 cm × 15 cmB = 0,4 Tn = 3000 rpm

E₀ = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 100 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

P = W

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−8 + 6)/2 = −1 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,1² = 0,899 N

Risposta

F = 0,899 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,74 × 10⁶ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(10² + 8²) = 12,81 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1281² = 2,193 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo la retta che unisce le cariche si annullano.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·2,193 × 10⁶·0,6247 = 2,74 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 2,74 × 10⁶ N/C

Il campo è diretto lungo l’asse, allontanandosi dalle cariche.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 11,74 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω

R_eq = R₁ + 7,742 = 4 + 7,742 = 11,74 Ω

Risposta

R_eq = 11,74 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 17,08 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 30 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 5,41 Ω

R₃ + 5,41 = 13,41 Ω

R₂ ∥ 13,41 = 7,08 Ω

R_eq = R₁ + 7,08 = 10 + 7,08 = 17,08 Ω

Risposta

R_eq = 17,08 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 30,7 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0,3333 A

Risolvi per il tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −6,667·ln(0,01) = 30,7 ms

Risposta

t = 30,7 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 2408 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 12 + (3 − 12)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

10,2 = 12 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,2 − 12)/(3 − 12) = 0,2

t = τ·ln((3 − 12)/(10,2 − 12)) = 1496·ln(5) = 2408 ms

Risposta

t = 2408 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 62,5 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·5/0,08 = 62,5 µN/m

Risposta

F/L = 62,5 µN/m

Correnti nello stesso verso si attraggono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E₀ = 188,5 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,0075 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 200·0,4·0,0075·314,2 = 188,5 V

Risposta

E₀ = 188,5 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 20,91 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 12,57 Ω, X_C = 72,34 Ω

Impedenza

|Z| = √(60² + (−59,78)²) = 84,7 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 50/84,7 = 0,5904 A

P = I²·R = 0,5904²·60 = 20,91 W

Risposta

P = 20,91 W

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,983 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−113,3)²) = 116 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/116 = 1,983 A

Risposta

I = 1,983 A

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