Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +10 µC e una carica di +1 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 20 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = +1 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 2 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 40 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 8° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 40 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 250 ms.

V_s = 9 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un elettrone che si muove a 3 × 10⁶ m/s entra in un campo magnetico uniforme ad angolo retto e descrive una circonferenza di raggio 0,8529 cm. Trova la densità di flusso magnetico B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sr = 0,8529 cm

B = mT

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,5 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,5 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 1000 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 100 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,148 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |2,247 × 10⁶ − 99889| = 2,148 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 2,148 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 61,66 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 8° = 0,1113 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1113·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 6,166 × 10⁻⁸ C = 61,66 nC

Risposta

q = 61,66 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,9184 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 20·40/(20+40) = 13,33 Ω

R_eq = R₁ + 13,33 = 3 + 13,33 = 16,33 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,33 = 0,9184 A

Risposta

I_R1 = 0,9184 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 2,285 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 3 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 6,429 Ω

R₃ + 6,429 = 11,43 Ω

R₂ ∥ 11,43 = 2,376 Ω

R_eq = R₁ + 2,376 = 2 + 2,376 = 4,376 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/4,376 = 2,285 A

Risposta

I_R1 = 2,285 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,1676 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0,2553 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2553·(1 − e^−5/4,681) = 0,1676 A

Risposta

i = 0,1676 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 4,685 V

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 9·10/(3,3 + 10) = 6,767 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Scarica

v_C(t) = 6,767·e^−250/680 = 4,685 V

Risposta

v_C = 4,685 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 2 mT

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo dal raggio

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,008529) = 2 mT

Risposta

B = 2 mT

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,292 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,01292 m = 1,292 cm

Risposta

r = 1,292 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 82,65 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (155)²) = 156,3 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(155/20) = 82,65°

Risposta

φ = 82,65°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 14,47 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−597,8)²) = 599,9 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/599,9 = 0,02 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,02·723,4 = 14,47 V

Risposta

V_C = 14,47 V

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