Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +1 µC e una carica di −6 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 20 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +1 µCq₂ = −6 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 1 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 6 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 6 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 50% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 24 VR = 100 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 5 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 3,75 V, esattamente 200 ms dopo l’avvio. Con R = 10 kΩ, trova la capacità C necessaria.

V_s = 5 VV_th = 3,75 VT = 200 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone che si muove a 2,5 × 10⁵ m/s entra in un campo magnetico uniforme ad angolo retto e descrive una circonferenza di raggio 0,6527 cm. Trova la densità di flusso magnetico B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sr = 0,6527 cm

B = T

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 5 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,1 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,25 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,25 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,573 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,2² = 224750 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |224750 + 1,348 × 10⁶| = 1,573 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,573 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 211 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,03² = 59,93 N

F₂ = k·6·6 × 10⁻¹²/0,04² = 202,3 N

Somma vettoriale

F = √(59,93² + 202,3²) = 211 N

Risposta

F = 211 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 10,24 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 5·28/(5+28) = 4,242 Ω

R_eq = R₁ + 4,242 = 6 + 4,242 = 10,24 Ω

Risposta

R_eq = 10,24 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,4454 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 12 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 3,61 Ω

R₃ + 3,61 = 13,61 Ω

R₂ ∥ 13,61 = 1,744 Ω

R_eq = R₁ + 1,744 = 10 + 1,744 = 11,74 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,74 = 0,5109 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,5109·10 = 0,8909 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8909/2 = 0,4454 A

Risposta

I_R2 = 0,4454 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 0,1525 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0,22 ms

i(∞) = V_s/R = 24/100 = 0,24 A

Risolvi per il tempo

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,22·ln(0,5) = 0,1525 ms

Risposta

t = 0,1525 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 14,43 µF

Costante di tempo richiesta

3,75 = 5·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 3,75))

τ = 200/1,386 = 144,3 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 144,3/10 = 14,43 µF

Risposta

C = 14,43 µF

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 0,4 T

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo dal raggio

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,006527) = 0,4 T

Risposta

B = 0,4 T

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 20,89 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,1 = 5 × 10⁶ m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,2089 m = 20,89 cm

Risposta

r = 20,89 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,02352 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−507,8)²) = 510,3 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/510,3 = 0,02352 A

Risposta

I = 0,02352 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,1822 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (48,87)²) = 54,9 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/54,9 = 0,1822 A

Risposta

I = 0,1822 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism