Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +3 µC e +4 µC distano 10 cm. A quale distanza x dalla carica di +3 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +3 µCq₂ = +4 µCd = 10 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 4 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 1 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 1 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 8 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 12,8 V? Trova t.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un filo è percorso da una corrente verso sinistra in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica sul filo.

I: verso sinistraB: verso l’interno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 2500 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 100 Hz. Trova il fattore di potenza cos φ del circuito.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 50 Ω, L = 20 mH e C = 0,22 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 4,641 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

3/x² = 4/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(4/3) = 1,155

Posizione

x = 10/(1 + 1,155) = 4,641 cm

Risposta

x = 4,641 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 320,4 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·8·4 × 10⁻¹²/0,03² = 319,6 N

F₂ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,04² = 22,47 N

Somma vettoriale

F = √(319,6² + 22,47²) = 320,4 N

Risposta

F = 320,4 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,975 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 8·26/(8+26) = 6,118 Ω

R_eq = R₁ + 6,118 = 8 + 6,118 = 14,12 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/14,12 = 1,275 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,275·8 = 7,8 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,8/8 = 0,975 A

Risposta

I_R2 = 0,975 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 7,376 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 13,64 Ω

R₃ + 13,64 = 21,64 Ω

R₂ ∥ 21,64 = 3,376 Ω

R_eq = R₁ + 3,376 = 4 + 3,376 = 7,376 Ω

Risposta

R_eq = 7,376 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2203 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,24·(1 − e^−5/2) = 0,2203 A

Risposta

i = 0,2203 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 114 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

12,8 = 24 + (−16)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,8 − 24)/(8 − 24) = 0,7

t = τ·ln((8 − 24)/(12,8 − 24)) = 319,6·ln(1,429) = 114 ms

Risposta

t = 114 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso il basso

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

I: verso sinistra, B: verso l’interno della pagina

Verso della forza

verso il basso

Risposta

F: verso il basso

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,9033 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,009033 m = 0,9033 cm

Risposta

r = 0,9033 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: cos φ = 0,4783

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 125,7 Ω, X_C = 33,86 Ω

Impedenza

|Z| = √(50² + (91,8)²) = 104,5 Ω

Fattore di potenza

cos φ = R/|Z| = 50/104,5 = 0,4783

Il circuito è induttivo, quindi il fattore di potenza è induttivo (in ritardo).

Risposta

cos φ = 0,4783

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 6,03

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 6,03

Risposta

Q = 6,03

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