Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +3 µC e +1 µC distano 30 cm. A quale distanza x dalla carica di +3 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCd = 30 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 2 cm e il campo tra di esse è 2000 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 2000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 9 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 5,4 V, esattamente 25 ms dopo l’avvio. Con C = 2,2 µF, trova la resistenza R necessaria.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 25 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone che si muove a 5 × 10⁵ m/s entra in un campo magnetico uniforme ad angolo retto e descrive una circonferenza di raggio 0,6527 cm. Trova la densità di flusso magnetico B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sr = 0,6527 cm

B = T

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

La corrente in un induttore da 200 mH varia in modo costante da 1 A a 4 A in 5 ms. Trova il modulo della f.e.m. autoindotta ε.

L = 200 mH1 A → 4 AΔt = 5 ms

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 100 Ω, L = 50 mH e C = 0,022 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0,022 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 19,02 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

3/x² = 1/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(1/3) = 0,5774

Posizione

x = 30/(1 + 0,5774) = 19,02 cm

Risposta

x = 19,02 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,7035 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,02/1 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2000/9,109 × 10⁻³¹ = 3,517 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·3,517 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0007035 m = 0,7035 mm

Risposta

y = 0,7035 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,9474 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω

R_eq = R₁ + 5,333 = 20 + 5,333 = 25,33 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/25,33 = 0,9474 A

Risposta

I_R1 = 0,9474 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,449 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 1,857 Ω

R₃ + 1,857 = 11,86 Ω

R₂ ∥ 11,86 = 8,043 Ω

R_eq = R₁ + 8,043 = 12 + 8,043 = 20,04 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/20,04 = 0,449 A

Risposta

I_R1 = 0,449 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,4323 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,5·(1 − e^−1/0,5) = 0,4323 A

Risposta

i = 0,4323 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: R = 12,4 kΩ

Costante di tempo richiesta

5,4 = 9·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 25/0,9163 = 27,28 ms

Resistenza

kΩ per µF dà millisecondi.

R = τ/C = 27,28/2,2 = 12,4 kΩ

Risposta

R = 12,4 kΩ

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 0,8 T

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo dal raggio

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,006527) = 0,8 T

Risposta

B = 0,8 T

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 120 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. autoindotta

La f.e.m. si oppone alla variazione di corrente (Lenz), quindi il suo segno è opposto a ΔI; il valore è L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·3/0,005 = 120 V

Risposta

ε = 120 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,9855 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (91,8)²) = 121,8 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/121,8 = 0,9855 A

Risposta

I = 0,9855 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 15,08

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,022·10⁻⁶)) = 4799 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,05/(0,022·10⁻⁶)) = 15,08

Risposta

Q = 15,08

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