Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +5 µC e una carica di +4 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 5 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 5 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 60 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 5° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 60 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

V_s = 12 VR = 5 ΩL = 47 mH

W(∞) = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Quanto tempo dopo t = 0 la corrente dell’induttore raggiunge 0,778 A? Trova t.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 15 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 5 A e 12 A in versi opposti. Trova il modulo della densità di flusso magnetico B nel punto P, a metà tra di essi.

I₁ = 5 AI₂ = 12 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

In un selettore di velocità, campi incrociati E = 5 × 10⁴ V/m e B = 0,5 T lasciano passare in linea retta solo gli ioni di una certa velocità. Trova quella velocità v.

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 T

v = m/s

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 200 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,638 × 10⁷ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,05² = 1,798 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |1,798 × 10⁷ − 1,598 × 10⁶| = 1,638 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 1,638 × 10⁷ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 72,26 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 5° = 0,004291 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 5° = 0,1046 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1046·√(0,004291/8,99 × 10⁹) = 7,226 × 10⁻⁸ C = 72,26 nC

Risposta

q = 72,26 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,5065 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω

R_eq = R₁ + 2,438 = 12 + 2,438 = 14,44 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,44 = 0,6234 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6234·12 = 1,519 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,519/3 = 0,5065 A

Risposta

I_R2 = 0,5065 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,2133 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 1,846 Ω

R₃ + 1,846 = 11,85 Ω

R₂ ∥ 11,85 = 5,423 Ω

R_eq = R₁ + 5,423 = 20 + 5,423 = 25,42 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/25,42 = 0,3934 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3934·20 = 2,133 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,133/10 = 0,2133 A

Risposta

I_R2 = 0,2133 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 135,4 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9,4 ms

i(∞) = V_s/R = 12/5 = 2,4 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·2,4² = 135,4 mJ

Risposta

W(∞) = 135,4 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 1,176 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 15/(10 + 22) = 0,4688 A

i(∞) = 15/10 = 1,5 A

τ = L/R = 33/10 = 3,3 ms

i(t) = 1,5 + (0,4688 − 1,5)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

e^−t/τ = (0,778 − 1,5)/(0,4688 − 1,5) = 0,7001

t = 3,3·ln(1,428) = 1,176 ms

Risposta

t = 1,176 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 45,33 µT

Campo magnetico delle correnti: attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze (regola della mano destra) con B = μ₀I/(2πr). Al centro di una bobina circolare piana di N spire, B = μ₀NI/(2R). All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, B = μ₀nI con n = N/L spire per metro, qualunque sia il raggio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Lavora in unità SI (metri e ampere) e somma vettorialmente i campi di più sorgenti.

Campo di ciascun filo in P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·5/0,075 = 13,33 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,075 = 32 µT

Combina

B = B₁ + B₂ = 45,33 µT

Risposta

B = 45,33 µT

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: v = 100000 m/s

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0,5 = 100000 m/s

Risposta

v = 100000 m/s

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 2,453 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (48,87)²) = 93,75 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/93,75 = 2,453 A

Risposta

I = 2,453 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 159,2 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Risposta

f₀ = 159,2 Hz

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