Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +10 µC e una carica di −2 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 20 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 8 cm e il campo tra di esse è 500 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 3 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,75 A? Trova t.

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 15 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 1000 ms.

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 15 Vt = 1000 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 8 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 15 A e 12 A nello stesso verso. Trova il modulo della densità di flusso magnetico B nel punto P, a metà tra di essi.

I₁ = 15 AI₂ = 12 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina corta di 100 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 1500 spire, lunghezza 25 cm e diametro 5 cm. La corrente nel solenoide varia a 200 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella bobina corta.

N₁ = 1500N₂ = 100l = 25 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 200 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 500 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,697 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |2,247 × 10⁶ + 449500| = 2,697 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 2,697 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 1,251 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,08/1,5 × 10⁷ = 5,333 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·500/9,109 × 10⁻³¹ = 8,794 × 10¹³ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·8,794 × 10¹³·(5,333 × 10⁻⁹)² = 0,001251 m = 1,251 mm

Risposta

y = 1,251 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,8936 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 10 + 1,75 = 11,75 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,75 = 1,021 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,021·10 = 1,787 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,787/2 = 0,8936 A

Risposta

I_R2 = 0,8936 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,675 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 6,462 Ω

R₃ + 6,462 = 21,46 Ω

R₂ ∥ 21,46 = 1,83 Ω

R_eq = R₁ + 1,83 = 8 + 1,83 = 9,83 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,83 = 1,831 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,831·8 = 3,35 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,35/2 = 1,675 A

Risposta

I_R2 = 1,675 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 2,773 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

Risolvi per il tempo

0,75 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,75)

t = 2·ln(4) = 2,773 ms

Risposta

t = 2,773 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 11,35 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 5 + (15 − 5)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(1000) = 5 + (10)·e^−1000/2200 = 11,35 V

Risposta

v_C = 11,35 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 15 µT

Campo magnetico delle correnti: attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze (regola della mano destra) con B = μ₀I/(2πr). Al centro di una bobina circolare piana di N spire, B = μ₀NI/(2R). All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, B = μ₀nI con n = N/L spire per metro, qualunque sia il raggio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Lavora in unità SI (metri e ampere) e somma vettorialmente i campi di più sorgenti.

Campo di ciascun filo in P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·15/0,04 = 75 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,04 = 60 µT

Combina

B = |B₁ − B₂| = 15 µT

Risposta

B = 15 µT

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 296,1 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0,001963/0,25 = 1,48 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,00148·200 = 296,1 mV

Risposta

ε = 296,1 mV

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −85,23 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−239,8)²) = 240,6 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−239,8/20) = −85,23°

Risposta

φ = −85,23°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 328,3 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·4,7·10⁻⁶)) = 328,3 Hz

Risposta

f₀ = 328,3 Hz

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