Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +4 µC a sinistra, +6 µC a destra a 40 cm di distanza, e −3 µC tra loro, a 24 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +6 µCq_M = −3 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +2 µC e −2 µC distano 16 cm. Il punto P si trova a 3 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 16 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Trova la corrente dell’induttore i a t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 22 ΩR₂ = 10 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 12 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 10 A e 12 A in versi opposti. Trova il modulo della densità di flusso magnetico B nel punto P, a metà tra di essi.

I₁ = 10 AI₂ = 12 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 400 spire, una lunghezza di 30 cm e un diametro di 3 cm. Trova l’energia W immagazzinata nel suo campo magnetico quando è percorso da 5 A.

N = 400l = 30 cm⌀ = 3 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 4,448 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·4·3 × 10⁻¹²/0,24² = −1,873 N

F_R = +k·6·3 × 10⁻¹²/0,16² = 6,321 N

Forza risultante

F = −1,873 + (6,321) = 4,448 N → |F| = 4,448 N

Risposta

F = 4,448 N

La forza risultante è diretta verso destra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 4,612 × 10⁶ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(8² + 3²) = 8,544 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,08544² = 2,463 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,463 × 10⁶·0,9363 = 4,612 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 4,612 × 10⁶ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 16,74 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 10·9/(10+9) = 4,737 Ω

R_eq = R₁ + 4,737 = 12 + 4,737 = 16,74 Ω

Risposta

R_eq = 16,74 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 13,84 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 20 + 25 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 13,85 Ω

R₃ + 13,85 = 15,85 Ω

R₂ ∥ 15,85 = 8,841 Ω

R_eq = R₁ + 8,841 = 5 + 8,841 = 13,84 Ω

Risposta

R_eq = 13,84 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 0,2 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,2² = 0,2 mJ

Risposta

W(∞) = 0,2 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,6034 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 15/(22 + 10) = 0,4688 A

i(∞) = 15/22 = 0,6818 A

τ = L/R = 22/22 = 1 ms

i(t) = 0,6818 + (0,4688 − 0,6818)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(1) = 0,6818 + (−0,2131)·e^−1/1 = 0,6034 A

Risposta

i = 0,6034 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: B = 73,33 µT

Campo magnetico delle correnti: attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze (regola della mano destra) con B = μ₀I/(2πr). Al centro di una bobina circolare piana di N spire, B = μ₀NI/(2R). All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, B = μ₀nI con n = N/L spire per metro, qualunque sia il raggio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Lavora in unità SI (metri e ampere) e somma vettorialmente i campi di più sorgenti.

Campo di ciascun filo in P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·10/0,06 = 33,33 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,06 = 40 µT

Combina

B = B₁ + B₂ = 73,33 µT

Risposta

B = 73,33 µT

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: W = 5,922 mJ

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 473,7 µH

Energia immagazzinata

W = ½LI² = ½·0,0004737·5² = 0,005922 J = 5,922 mJ

Risposta

W = 5,922 mJ

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,4706 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (234,6)²) = 255 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/255 = 0,4706 A

Risposta

I = 0,4706 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 112,5 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·100·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Risposta

f₀ = 112,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism