Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
−−5 µC−−6 µCr = 10 cm

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −5 µC e −6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 10 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −5 µCq2 = −6 µCr = 10 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
8 cm10 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +5 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 5 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 5 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 8 µCq2 = 5 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​8 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 6 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
R = 50 Ωt = 0L68 mHi(t)

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 1 A? Trova t.

i(0) = 2 AR = 50 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​24 Vt = 0R = 3,3 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 80 ms.

Vs = 24 VR = 3,3 kΩC = 68 µFvC(0) = 18 Vt = 80 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 20 cm², N = 50B: 0,05 → 0,15 T

Una bobina di 50 spire, area 20 cm² e resistenza 20 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,05 T a 0,15 T in 40 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 50A = 20 cm²B: 0,05 T → 0,15 TΔt = 40 msR = 20 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
N1​ = 500, l = 50 cmN2​ = 100M = ?

Una bobina corta di 100 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 500 spire, lunghezza 50 cm e diametro 2 cm. Trova la loro mutua induttanza M.

N1 = 500N2 = 100l = 50 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.Impedenza AC e fasoriMedia
24 V500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 500 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
100 V100 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 60 ΩC = 47 µF

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 100 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 60 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 27,19 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−5 + −6)/2 = −5,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 27,19 N

Risposta

F = 27,19 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 60,52 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·8·5 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N
F2 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,1² = 22,47 N

Somma vettoriale

F = √(56,19² + 22,47²) = 60,52 N

Risposta

F = 60,52 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,6364 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 4·24/(4+24) = 3,429 Ω
Req = R1 + 3,429 = 6 + 3,429 = 9,429 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 6/9,429 = 0,6364 A

Risposta

IR1 = 0,6364 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,3999 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 4,941 Ω
R3 + 4,941 = 29,94 Ω
R2 ∥ 29,94 = 11,99 Ω
Req = R1 + 11,99 = 3 + 11,99 = 14,99 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 10/14,99 = 0,6671 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,6671·3 = 7,999 V
IR2 = VA/R2 = 7,999/20 = 0,3999 A

Risposta

IR2 = 0,3999 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 0,9427 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

Risolvi per il tempo

1 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/1)
t = 1,36·ln(2) = 0,9427 ms

Risposta

t = 0,9427 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 19,8 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms
vC(t) = 24 + (18 − 24)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(80) = 24 + (−6)·e−80/224,4 = 19,8 V

Risposta

vC = 19,8 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 12,5 mA

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,15 − 0,05)·0,002 = 0,0002 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0002/0,04 = 0,25 V

Corrente

I = ε/R = 0,25/20 = 0,0125 A

Risposta

I = 12,5 mA
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: M = 39,48 µH

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·100·0,0003142/0,5 = 39,48 µH

Risposta

M = 39,48 µH
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 79,08 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (311)²) = 316,7 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(311/60) = 79,08°

Risposta

φ = 79,08°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 35,49 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 14,49 − j25,68 Ω

Impedenza totale

Z = 10 + 14,49 − j25,68 = 24,49 − j25,68 Ω
|Z| = √(24,49² + 25,68²) = 35,49 Ω

Risposta

|Z| = 35,49 Ω

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