Statica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il prodotto scalare a·b di a = (7, −7, 1) e b = (−3, 7, 6).

a = (7, −7, 1)b = (−3, 7, 6)

a·b =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Trova l’area A del parallelogramma generato da a = (−1, −1, −3) e b = (1, −6, 6).

a = (−1, −1, −3)b = (1, −6, 6)

A =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Porta un carico concentrato P a 1 m da A e una coppia antioraria M a 1,5 m da A. Trova la reazione verticale R_A, considerando positivo il verso verso l’alto.

L = 6 mP = 25 kN in 1 mM = 10 kN·m (antioraria) in 1,5 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 5 m da A, inclinato di 60° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 7 m da A. Trova il modulo della reazione totale R_A nella cerniera A.

L = 8 mP = 55 kN in 5 m, θ = 60°Q = 40 kN in 7 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 10 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 20 kNcarico orizzontale = 30 kN →

F_AB = kN

7.Telai e macchineMedia

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 3 m, e il tirante orizzontale DE è a 1 m dal suolo. Un carico di 20 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.

P = 20 kNAB = 4 maltezza di C = 3 maltezza di DE = 1 m

C = kN

8.Telai e macchineDifficile

Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 1,5 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo da B al punto C sulla parete, 2 m sopra A. Un carico di 15 kN è appeso in B. Trova il modulo della reazione sulla cerniera A.

W = 15 kNW_b = 1,5 kNAB = 2,5 mAC = 2 m

A = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 20 kN·m in x = 4,5 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m orario, in 4,5 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mw = 20 kN/m da 2 a 4 m

M_max = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 220 mm con due ali verticali, alta 130 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 220 mmh = 130 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 150 × 14 mm, un’anima alta 230 mm e spessa 16 mm, e un’ala inferiore 260 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 150 × 14 mmanima: 16 × 230 mmala inferiore: 260 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: a·b = −64

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Moltiplica le componenti corrispondenti e somma

a·b = 7·(−3) + (−7)·7 + 1·6 = (−21) + (−49) + 6 = −64

Risposta

a·b = −64

Negativo: l’angolo tra i vettori è maggiore di 90°.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: A = 25,18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·6 − (−3)·(−6) = −24

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·1 − (−1)·6 = 3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−6) − (−1)·1 = 7

Area

A = |a × b| = √((−24)² + 3² + 7²) = 25,18

Risposta

A = 25,18

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 22,5 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Momenti rispetto ad A

Positivo in senso antiorario.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 25·1 + 10 = 0

R_B = 15/6 = 2,5 kN

Equilibrio verticale

R_A = 25 − 2,5 = 22,5 kN

Risposta

R_A = 22,5 kN

Una reazione negativa agisce verso il basso.

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 35,76 kN

Componenti di P

P_v = 55·sin 60° = 47,63 kN

P_h = 55·cos 60° = 27,5 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·8 = 47,63·5 + 40·7 → R_B = 64,77 kN

A_y = 47,63 + 40 − 64,77 = 22,86 kN

A_x = P_h = 27,5 kN

Risultante in A

R_A = √(27,5² + 22,86²) = 35,76 kN

Risposta

R_A = 35,76 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −7,211 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6 = 4 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4/0,5547 = −7,211 kN

Risposta

F_AB = −7,211 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −7,454 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 + 30·2 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 13,33 = 6,667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,667/0,8944 = −7,454 kN

Risposta

F_AB = −7,454 kN (compressione)

7.Telai e macchine

Risposta: C = 14,14 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel tirante dalla gamba BC

B_y = 10 kN

T = 10·2/2 = 10 kN

Componenti della forza sulla cerniera di BC

C_x = T = 10 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Modulo

C = √(10² + 10²) = 14,14 kN

Risposta

C = 14,14 kN

8.Telai e macchine

Risposta: A = 19,7 kN

Tensione nel cavo

T = (15 + 1,5/2)/0,6247 = 25,21 kN

Componenti in A

A_x = T·cos β = 19,69 kN

A_y = 15 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN

Modulo

A = √(19,69² + 0,75²) = 19,7 kN

Risposta

A = 19,7 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −3,333 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a destra della coppia

Ora la parte sinistra contiene R_A e la coppia.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,333·4,5 + 20 = 5 kN·m

Risposta

M_x = 5 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 50 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2·3

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 20/20 = 3 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 20·3 − 20·1²/2 = 50 kN·m

Risposta

M_max = 50 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 11,59 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 220·16 = 3520 mm², y₁ = 8 mm

due ali: A₂ = 2·16·114 = 3648 mm², y₂ = 16 + 114/2 = 73 mm

Baricentro

ȳ = (3520·8 + 3648·73)/7168 = 41,08 mm

Teorema del trasporto

base: 220·16³/12 + 3520·(8 − 41,08)² = 3,927 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·16·114³/12 + 3648·(73 − 41,08)² = 7,668 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,927 × 10⁶ + 7,668 × 10⁶

I_x = 1,159 × 10⁷ mm⁴ = 11,59 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 11,59 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 91,58 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2100 mm², y = 249 mm

anima: A = 3680 mm², y = 127 mm

ala inferiore: A = 3120 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (2100·249 + 3680·127 + 3120·6)/8900 = 113,4 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 150·14³/12 + 2100·135,6² = 3,867 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·230³/12 + 3680·13,63² = 1,691 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 260·12³/12 + 3120·107,4² = 3,6 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,867 × 10⁷ + 1,691 × 10⁷ + 3,6 × 10⁷

I_x = 9,158 × 10⁷ mm⁴ = 91,58 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 91,58 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics