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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Una forza costante F = (−25, −10, −20) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(−1, −3, 1) al punto B(1, −3, 5). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.
F = (−25, −10, −20) NA(−1, −3, 1) mB(1, −3, 5) m
W = J
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (30, 10, 30) N agisce nel punto A(2, 1, 0). Le coordinate sono in metri. Trova la componente y My del momento della forza rispetto a il punto O(1, 1, 1).
F = (30, 10, 30) NA(2, 1, 0) mO(1, 1, 1) m
My = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 10 mP1 = 20 kN in 6 mP2 = 10 kN in 7 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che è nullo alla parete e cresce fino a 10 kN/m all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 6 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 6 mw0 = 10 kN/mP = 30 kN in 6 m
MA = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 3 mB è a 3 m da Acarico verticale = 55 kN
FAC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 3 mB è a 3 m da Acarico verticale = 55 kNcarico orizzontale = 30 kN →
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m, con la cerniera al vertice C alta 2,5 m e il tirante orizzontale DE a 1,5 m dal suolo. Un carico verticale di 20 kN agisce sulla gamba AC in K, a 1,2 m (in orizzontale) da A. Trova la tensione T nel tirante.
P = 20 kNAB = 3,2 maltezza di C = 2,5 maltezza di DE = 1,5 mdistanza orizzontale da A a K = 1,2 m
T = kN
8.Telai e macchineDifficile
Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 0,5 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo da B al punto C sulla parete, 1 m sopra A. Un carico di 10 kN è appeso in B. Trova il modulo della reazione sulla cerniera A.
W = 10 kNWb = 0,5 kNAB = 6 mAC = 1 m
A = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P1 tra gli appoggi e un carico concentrato P2 in C. Trova il momento flettente MB all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mP1 = 70 kN in 4 mP2 = 40 kN in 10 mappoggi in x = 0 e x = 8 m
MB = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 10 mP = 45 kN in 7 mw = 8 kN/m da 0 a 10 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 150 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 340 mm e un’anima spessa 14 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico Sx per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.
B = 150 mmH = 340 mmtf = 14 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 96 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 50 × 20 mmcentro del foro: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: W = −130 J
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Spostamento
d = B − A = (1, −3, 5) − (−1, −3, 1) = (2, 0, 4) m
Lavoro
W = F·d = (−25)·2 + (−10)·0 + (−20)·4 = −130 J
Risposta
W = −130 J
Lavoro negativo: la forza agisce per lo più contro il moto.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: My = −60 N·m
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Vettore posizione da O ad A
r = A − O = (2, 1, 0) − (1, 1, 1) = (1, 0, −1) m
Momento M = r × F
(r × F)x = ryFz − rzFy = 0·30 − (−1)·10 = 10 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−1)·30 − 1·30 = −60 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 1·10 − 0·30 = 10 N·m
Componente richiesta
My = −60 N·m
Risposta
My = −60 N·m
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 19 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 10·7
RB = 190/10 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 19 = 11 kN
Risposta
RB = 19 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 300 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico triangolare
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m
Momento rispetto alla parete
MA = W·x̄ + P·a = 30·4 + 30·6 = 300 kN·m
Risposta
MA = 300 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAC = 34,38 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·3 → Cy = 20,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 20,63 = 34,38 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 + 30·3 → Cy = 63,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 63,75 = −8,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Telaio completo: momenti rispetto ad A
By = 20·1,2/3,2 = 7,5 kN
Gamba BC: momenti rispetto a C
7,5·1,6 = T·1
T = 12 kN
Risposta
T = 12 kN
8.Telai e macchine
Risposta: A = 61,5 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Tensione nel cavo
T = (10 + 0,5/2)/0,1644 = 62,35 kN
Componenti in A
Ax = T·cos β = 61,5 kN
Ay = 10 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN
Modulo
A = √(61,5² + 0,25²) = 61,5 kN
Risposta
A = 61,5 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: MB = −80 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.
ΣMA = 0: RB·8 = 70·4 + 40·10
RB = 680/8 = 85 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 85 = 25 kN
Taglia in B e tieni lo sbalzo
Sullo sbalzo agisce solo P2, con braccio a. Inflette la trave verso l’alto sopra l’appoggio (momento negativo).
MB = −P2·a = −40·2 = −80 kN·m
Risposta
MB = −80 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 178,9 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, applicata in x̄ = 5 m
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.
Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali
I due vuoti insieme sono larghi (B − tw) e alti hw = H − 2tf, e hanno lo stesso asse x.
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (36000·120 − 1000·96)/(36000 − 1000) = 120,7 mm