Statica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il valore di k per cui i vettori a = (3, −5, 6) e b = (k, −2, −3) sono perpendicolari.

a = (3, −5, 6)b = (k, −2, −3)

k =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (−3, 1, −2) sia a b = (−3, 2, 2) e ha componente z positiva. Trova la sua componente x n̂_x.

a = (−3, 1, −2)b = (−3, 2, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 4 kN/m in A fino a zero in B. Agisce anche un carico concentrato P a 3,5 m da A. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 10 kN in 3,5 m

R_B = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 4 mP = 50 kN in 2,5 mw = 3 kN/m da 0 a 3 m

R_B = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 15 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 55 kNcarico orizzontale = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Telai e macchineMedia

La leva a squadra mostrata ruota attorno al perno O. Una forza verticale di 50 N in A (240 mm da O) è equilibrata da una forza orizzontale in B (100 mm sopra O). Trova il modulo della reazione sul perno F_O.

F = 50 NOA = 240 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Telai e macchineDifficile

Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 4 m di distanza, e B è alta 4 m e 1,8 m a destra di A. L’elemento AB porta un carico verticale di 10 kN in K, a 0,72 m (in orizzontale) da A, e un carico orizzontale di 3 kN verso destra agisce in B sull’elemento AB. Trova il modulo della reazione orizzontale A_x in A.

P = 10 kNQ = 3 kNL = 4 mH = 4 mdistanza orizzontale da A a B = 1,8 mdistanza orizzontale da A a K = 0,72 m

A_x = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

20 kN @ 0 m35 kN @ 12 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 190 × 24 mm, un’anima alta 340 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 270 × 20 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 190 × 24 mmanima: 8 × 340 mmala inferiore: 270 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: k = 2,667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Il prodotto scalare è uguale a zero

a·b = 3·k + (−5)·(−2) + 6·(−3) = 0

−8 + 3·k = 0

Risolvi per k

k = −(−8)/3 = 2,667

Risposta

k = 2,667

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: n̂_x = −0,4364

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·2 − (−2)·2 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − (−3)·2 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·2 − 1·(−3) = −3

Normalizza

La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).

|a × b| = √(6² + 12² + (−3)²) = 13,75

n̂ = −(6, 12, −3)/13,75 = (−0,4364, −0,8729, 0,2182)

n̂_x = −0,4364

Risposta

n̂_x = −0,4364

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 9,833 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2 + 10·3,5

R_B = 9,833 kN

R_A = 22 − 9,833 = 12,17 kN

Risposta

R_B = 9,833 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 34,63 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN, applicata in x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2,5 + 3·3·1,5

R_B = 138,5/4 = 34,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 34,63 = 24,38 kN

Risposta

R_B = 34,63 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −13,53 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1,875 = 13,13 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,13/0,9701 = −13,53 kN

Risposta

F_AB = −13,53 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = −1,042 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 − 15·4 → C_y = −0,8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −0,8333 = 55,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−0,8333/0,6247 = 1,334 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(1,334)·0,7809 = −1,042 kN

Risposta

F_AC = −1,042 kN (compressione)

7.Telai e macchine

Risposta: F_O = 130 N

Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e F_in·a = F_out·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).

Forza in B

Q = 50·240/100 = 120 N

Reazione sul perno

O_x = 120 N, O_y = 50 N

F_O = √(120² + 50²) = 130 N

Risposta

F_O = 130 N

8.Telai e macchine

Risposta: A_x = 0,36 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Direzione di BC

BC = 4,565 m, cos = 0,4819, sin = 0,8762

Telaio completo: momenti rispetto ad A

F_BC·0,8762·4 = 10·0,72 + 3·4

F_BC = 5,478 kN

Equilibrio orizzontale

A_x + 3 − 5,478·0,4819 = 0

A_x = −0,36 kN → |A_x| = 0,36 kN

Risposta

A_x = 0,36 kN

Il segno meno significa che A_x punta verso sinistra.

9.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 25,83 kN, R₂ = 74,17 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 25,83, M_C = 51,67, M_D = 77,5, M_E = 103,3 kN·m, M_F = 74,17, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 103,3 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 10 kN, R₂ = 55 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −60, M_D = −100, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −140 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 68,22 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

anima: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·287,5 + 3920·140)/7820 = 213,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·15³/12 + 3900·(287,5 − 213,6)² = 2,139 × 10⁷ mm⁴

anima: 14·280³/12 + 3920·(140 − 213,6)² = 4,682 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,139 × 10⁷ + 4,682 × 10⁷ = 6,822 × 10⁷ mm⁴ = 68,22 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 68,22 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 351 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 4560 mm², y = 372 mm

anima: A = 2720 mm², y = 190 mm

ala inferiore: A = 5400 mm², y = 10 mm

Baricentro

ȳ = (4560·372 + 2720·190 + 5400·10)/12680 = 178,8 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 190·24³/12 + 4560·193,2² = 1,704 × 10⁸ mm⁴

anima: 8·340³/12 + 2720·11,21² = 2,654 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 270·20³/12 + 5400·168,8² = 1,54 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,704 × 10⁸ + 2,654 × 10⁷ + 1,54 × 10⁸

I_x = 3,51 × 10⁸ mm⁴ = 351 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 351 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics