Statica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova l’angolo θ tra i vettori a = (−3, −4, 5) e b = (−5, −2, −1), in gradi.

a = (−3, −4, 5)b = (−5, −2, −1)

θ = °

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Trova l’area A del triangolo con vertici A(−2, −2, 2), B(−3, −4, −4) e C(3, 4, 4). Le coordinate sono in metri.

A(−2, −2, 2)B(−3, −4, −4)C(3, 4, 4)

A = m²

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 20 kN/m in A fino a zero in B. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 6 mw₀ = 20 kN/m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 9 m da A, inclinato di 40° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 6 m da A. Trova il modulo della reazione totale R_A nella cerniera A.

L = 10 mP = 60 kN in 9 m, θ = 40°Q = 15 kN in 6 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 5 m da Acarico verticale = 20 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Telai e macchineMedia

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3 m, con la cerniera al vertice C alta 2,4 m e il tirante orizzontale DE a 1,2 m dal suolo. Un carico verticale di 5 kN agisce sulla gamba AC in K, a 1,125 m (in orizzontale) da A. Trova la tensione T nel tirante.

P = 5 kNAB = 3 maltezza di C = 2,4 maltezza di DE = 1,2 mdistanza orizzontale da A a K = 1,125 m

T = kN

8.Telai e macchineDifficile

La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 1 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 1 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 10 kN all’estremità libera B. Trova la forza F_CD nel puntone.

w = 1 kN/mP = 10 kNAD = 1 mAB = 2 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 2,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 15 kN in 2,5 mw = 10 kN/m da 0 a 5 m

M_A = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 0 m60 kN @ 12 m40 kN @ 6 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 150 mm e diametro interno d = 138 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 150 mmd = 138 mm

r = mm

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 200 × 14 mm, un’anima alta 160 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 250 × 10 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 200 × 14 mmanima: 8 × 160 mmala inferiore: 250 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: θ = 62,31 °

Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.

Prodotto scalare

a·b = (−3)·(−5) + (−4)·(−2) + 5·(−1) = 18

Moduli

|a| = √((−3)² + (−4)² + 5²) = 7,071

|b| = √((−5)² + (−2)² + (−1)²) = 5,477

Angolo

cos θ = 18/(7,071·5,477) = 0,4648

θ = arccos(0,4648) = 62,31°

Risposta

θ = 62,31°

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: A = 21,35 m²

Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è M_O = r × F, con r = A − O.

Vettori dei lati

AB = B − A = (−1, −2, −6)

AC = C − A = (5, 6, 2)

Prodotto vettoriale

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·2 − (−6)·6 = 32

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−6)·5 − (−1)·2 = −28

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·6 − (−2)·5 = 4

|AB × AC| = √(32² + (−28)² + 4²) = 42,71

Area del triangolo

A = ½·42,71 = 21,35 m²

Risposta

A = 21,35 m²

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 40 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2

R_B = 20 kN

R_A = 60 − 20 = 40 kN

Risposta

R_A = 40 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 47,01 kN

Componenti di P

P_v = 60·sin 40° = 38,57 kN

P_h = 60·cos 40° = 45,96 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·10 = 38,57·9 + 15·6 → R_B = 43,71 kN

A_y = 38,57 + 15 − 43,71 = 9,857 kN

A_x = P_h = 45,96 kN

Risultante in A

R_A = √(45,96² + 9,857²) = 47,01 kN

Risposta

R_A = 47,01 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 4,167 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16,67 = 3,333 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,67/0,9701 = −17,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,18)·0,2425 = 4,167 kN

Risposta

F_AC = 4,167 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 37,5 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 − 10·2 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,3162 = −39,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−39,53)·0,9487 = 37,5 kN

Risposta

F_AC = 37,5 kN (trazione)

7.Telai e macchine

Risposta: T = 2,344 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Telaio completo: momenti rispetto ad A

B_y = 5·1,125/3 = 1,875 kN

Gamba BC: momenti rispetto a C

1,875·1,5 = T·1,2

T = 2,344 kN

Risposta

T = 2,344 kN

8.Telai e macchine

Risposta: F_CD = 31,11 kN

Risultante del carico uniforme

w·L = 1·2 = 2 kN in 1 m

Momenti rispetto ad A per la trave

F_CD·0,7071·1 = 2·1 + 10·2 = 22 kN·m

F_CD = 31,11 kN

Risposta

F_CD = 31,11 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −162,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −15·2,5 = −37,5 kN·m

w: −10·5²/2 = −125 kN·m

M_A = −37,5 − 125 = −162,5 kN·m

Risposta

M_A = −162,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

10.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 10 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 113,8 kN, R₂ = 121,3 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −110, M_C = −12,5, M_D = 45, M_E = −17,5, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −120 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 50,96 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 2714 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,048 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(7,048 × 10⁶/2714) = 50,96 mm

Risposta

r = 50,96 mm

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 41,91 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2800 mm², y = 177 mm

anima: A = 1280 mm², y = 90 mm

ala inferiore: A = 2500 mm², y = 5 mm

Baricentro

ȳ = (2800·177 + 1280·90 + 2500·5)/6580 = 94,73 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 200·14³/12 + 2800·82,27² = 1,9 × 10⁷ mm⁴

anima: 8·160³/12 + 1280·4,726² = 2,759 × 10⁶ mm⁴

ala inferiore: 250·10³/12 + 2500·89,73² = 2,015 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,9 × 10⁷ + 2,759 × 10⁶ + 2,015 × 10⁷

I_x = 4,191 × 10⁷ mm⁴ = 41,91 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 41,91 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics