Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 25 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?2,5 m0,5 m2 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 5 mP1 = 25 kN in 2,5 mP2 = 25 kN in 3 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w0​ = 15 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?3 m1 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che vale 15 kN/m alla parete e decresce fino a zero all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 3 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 60 kN in 3 m
MA = kN·m
3.Taglio e momento flettenteMedia
6 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Taglio e momento flettenteDifficile
12 kN/m45 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 12 m35 kN @ 2 m12 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABBCACACB15 kN5 m4 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 4 m da Acarico verticale = 15 kN
FAB = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABBCACACB55 kN25 kN4 m1 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 55 kNcarico orizzontale = 25 kN →
FAB = kN
7.Freccia della traveMedia
w = 12 kN/mδL = 3 m

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 12 kN/mP = 12 kNδL = 6 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 12 kNw = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 3 md = 60 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 40 kNL = 4 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 40 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 40 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 27,5 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 25 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m2 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·5 = 25·2,5 + 25·3
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27,5 = 22,5 kN

Risposta

RB = 27,5 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 220 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico triangolare

W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Momento rispetto alla parete

MA = W·x̄ + P·a = 30·1,333 + 60·3 = 220 kN·m

Risposta

MA = 220 kN·m
3.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 63,5 kN, R2 = 63,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 115, MC = 206, MD = 273 kN·m, ME = 206, MF = 115, MG = 0

Risposta

Punto D: MD = 273 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 51,75 kN, R2 = 124,3 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 79,5, MC = 41, MD = −45,5, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0

Risposta

Punto E: ME = −180 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAB = −5 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12 = 3 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3/0,6 = −5 kN

Risposta

FAB = −5 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAB = −23,72 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 + 25·3 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 32,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,9487 = −23,72 kN

Risposta

FAB = −23,72 kN (compressione)
7.Freccia della trave

Risposta: δ = 30,45 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 30,45 mm

Risposta

δ = 30,45 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmax = 35,63 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 12 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δP = PL³/(48EI) = 12000·6000³/(48·7,2 × 10¹²) = 7,5 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 28,13 mm

Sommale

δmax = 7,5 + 28,13 = 35,63 mm

Risposta

δmax = 35,63 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 139,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Risposta

Pcr = 139,5 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 45,08 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,08 mm

Risposta

d = 45,08 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 177,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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