Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 150 g di He a 250 kPa e 40 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 150 gM = 4,003 g/molP = 250 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di O₂ passa da 350 kPa, 2 L, 15 °C a 400 kPa e 230 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 10 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica riceve calore da una sorgente a 500 °C e cede calore all’ambiente a 30 °C. Il suo rendimento termico effettivo è del 30%. Trova il suo rendimento di secondo principio η_II, il rapporto tra il rendimento effettivo e il rendimento di Carnot.

T_H = 500 °CT_L = 30 °Cη = 30%

η_II = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 20 °C mentre fuori ci sono -5 °C, fornendo 7 kW di calore alla casa. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 17 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 1,5. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 17r_c = 1,5k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 8. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1500 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 80% e la turbina del 88%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 390,2 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 150/4,003 = 37,47 mol

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Volume

V = nRT/P = 37,47·8,314·313,1/250 = 390,2 L

Risposta

V = 390,2 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 3,056 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 288,1 K, T₂ = 503,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/400)·(503,1/288,1) = 3,056 L

Risposta

V₂ = 3,056 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 45,84 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·3,6·(130 − 70) = 108 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 108/(1·4,18) = 45,84 °C

Risposta

t_out = 45,84 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 1,126 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 2,5·2,44·(140 − 80) = 366 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·366 = 329,4 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 329,4/(4,18·70) = 1,126 kg/s

Risposta

ṁ_c = 1,126 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_II = 49,35 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendimento di Carnot

η_Carnot = 1 − 303,1/773,1 = 60,79 %

Rendimento di secondo principio

η_II = η/η_Carnot = 30/60,79 = 49,35 %

Risposta

η_II = 49,35 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 0,597 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 268,1) = 11,73

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/11,73 = 0,597 kW

Risposta

Ẇ_min = 0,597 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 64,85 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(1,5^1,4 − 1)/(1,4·(1,5 − 1)) = 1,092

Rendimento termico

η = 1 − 0,322·1,092 = 64,85%

Risposta

η = 64,85%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 288,4 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 300·8^0,2857 = 543,4 K

T_4s = 1500/8^0,2857 = 828,1 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(543,4 − 300)/0,8 = 305,8 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1500 − 828,1) = 594,3 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 594,3 − 305,8 = 288,4 kJ/kg

Risposta

w_net = 288,4 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 51,46%.

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