Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 3,8 kg attaccata a una molla con k = 380 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 20 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 8 cm dall’equilibrio.
m = 3,8 kgk = 380 N/mA = 20 cmx = 8 cm
v = m/s
2.Molle e pendoliDifficile
Un proiettile di 20 g che viaggia a 450 m/s colpisce un blocco di 2,5 kg fermo su una superficie priva di attrito e vi resta conficcato. Il blocco è attaccato a una molla orizzontale con k = 1700 N/m. Trova l’ampiezza A dell’oscillazione risultante in cm.
m = 20 gv = 450 m/sM = 2,5 kgk = 1700 N/m
A = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Un tubo chiuso a un’estremità deve avere la sua fondamentale (prima armonica) a 214 Hz. La velocità del suono è 343 m/s. Trova la lunghezza L del tubo.
v = 343 m/sn = 1f1 = 214 Hz
L = m
4.Onde, suono e otticaDifficile
Luce di lunghezza d’onda 650 nm attraversa una fenditura singola larga 0,15 mm. Trova l’angolo θ1 della frangia scura numero 1 rispetto alla direzione di passaggio diretto.
λ = 650 nma = 0,15 mmm = 1
θ1 = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: v = 1,833 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(380/3,8) = 10 rad/s
Velocità in x
v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0,2² − 0,08²) = 1,833 m/s
Risposta
v = 1,833 m/s
2.Molle e pendoli
Risposta: A = 13,75 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocità dopo l’impatto
V = m·v/(m + M) = 0,02·450/2,52 = 3,571 m/s
Pulsazione
ω = √(k/(m + M)) = √(1700/2,52) = 25,97 rad/s
Ampiezza
A = V/ω = 3,571/25,97 = 0,1375 m = 13,75 cm
Risposta
A = 13,75 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: L = 0,4007 m
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Lunghezza d’onda
λ = v/f = 343/214 = 1,603 m
Lunghezza
L = nλ/4 = 1·1,603/4 = 0,4007 m
Risposta
L = 0,4007 m
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θ1 = 0,2483 °
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Condizione per le frange scure
sin θ = mλ/a = 0,004333
θ = 0,2483°
Risposta
θ1 = 0,2483°
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