Onde e ottica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Molle e pendoli

Massa su una molla: T = 2π·√(m/k)
Pendolo: T = 2π·√(L/g)
Pulsazione: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocità e accelerazione massime: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Onde, suono e ottica

Velocità dell’onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Livello sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Sorgente puntiforme: I = P/(4πr²)
Onde stazionarie: corda o tubo aperto f_n = n·v/(2L); tubo chiuso f_n = n·v/(4L), n dispari
Effetto Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice di rifrazione: n = c/v, λ = λ₀/n
Legge di Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angolo critico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra ottica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenti e specchi: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppia fenditura: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Reticolo: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenditura singola: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodo

Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.

2Esercizi

1.Molle e pendoliMedia

Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 2,7 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.

T = 2,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

2.Molle e pendoliDifficile

Un corpo oscilla di moto armonico semplice con periodo 1,8 s e ampiezza 14 cm. Qual è il tempo minimo t che gli serve per passare dal suo spostamento massimo di 14 cm a uno spostamento di 7 cm?

T = 1,8 sA = 14 cmx = 7 cm

t = s

3.Onde, suono e otticaMedia

Una corda fissata a entrambe le estremità ha una lunghezza di 1,2 m; le onde si propagano su di essa a 300 m/s. Trova la frequenza f₅ della sua armonica numero 5.

v = 300 m/sn = 5L = 1,2 m

f₅ = Hz

4.Onde, suono e otticaDifficile

Luce di lunghezza d’onda 450 nm attraversa una fenditura singola larga 0,12 mm. Trova la larghezza w del massimo luminoso centrale su uno schermo a 1,5 m (tra le prime frange scure da entrambi i lati).

λ = 450 nma = 0,12 mmL = 1,5 m

w = mm

3Soluzioni

1.Molle e pendoli

Risposta: L = 1,811 m

Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².

Ricava la lunghezza

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m

Risposta

L = 1,811 m

2.Molle e pendoli

Risposta: t = 0,3 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsazione

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Risolvi per il tempo

0,5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,5) = 1,047 rad

t = 1,047/3,491 = 0,3 s

Risposta

t = 0,3 s

3.Onde, suono e ottica

Risposta: f₅ = 625 Hz

Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, f_n = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.

Lunghezza d’onda di questo modo

λ = 2L/n = 2·1,2/5 = 0,48 m

Frequenza

f = v/λ = 300/0,48 = 625 Hz

Risposta

f₅ = 625 Hz

4.Onde, suono e ottica

Risposta: w = 11,25 mm

Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Prima frangia scura

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1,5/(0,12 × 10⁻³) = 5,625 mm

Larghezza del massimo centrale

w = 2y₁ = 11,25 mm

Risposta

w = 11,25 mm

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