1.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 5,6y′ + 16y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 5,6y′ + 16y = 0
ζ =
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Una grandezza cresce secondo dy/dt = k·y con k > 0. Vale 200 per t = 0 e 340 per t = 10 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 200y(10) = 340
k = h⁻¹
3.Media
Una tazza di caffè a 93 °C viene lasciata in una stanza a 18 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,1 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 19 min.
T0 = 93 °CTa = 18 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 19 min
T = °C
4.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 340 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 26 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,02 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 43 min.
T0 = 340 °CTa = 26 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 43 min
T = °C
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 2y′ + 26y = 130 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,75); angoli in radianti.
y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + y′ + 4,25y = 42,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Soluzioni
- 1. ζ = 0,7
- 2. k = 0,05306 h⁻¹
- 3. T = 29,22 °C
- 4. T = 158,9 °C
- 5. y(0.75) = 7,208
- 6. ymax = 14,56
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