1.Facile
Una grandezza decresce secondo dy/dt = −k·y con k > 0. Vale 500 per t = 0 e 325 per t = 7 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 325
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 3y′ + 36y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 3y′ + 36y = 0
ζ =
3.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 500 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 30 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,01 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 17 min.
T0 = 500 °CTa = 30 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 17 min
T = °C
4.Media
Una lattina di bibita a 3 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 29 °C. Dopo 24 min la sua temperatura è 24 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(24) = 24 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 4y′ + 20y = 100 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,25); angoli in radianti.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Un serbatoio contiene 500 L di acqua in cui sono disciolti 10 kg di sale. Una salamoia con 0,2 kg di sale per litro entra a 5 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 15 min?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Soluzioni
- 1. k = 0,06154 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 426,5 °C
- 4. k = 0,06869 min⁻¹
- 5. y(0.25) = 2,086
- 6. m = 22,54 kg
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