1.Facile
Una grandezza decresce secondo dy/dt = −k·y con k > 0. Vale 100 per t = 0 e 20 per t = 6 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 100y(6) = 20
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 6,4y′ + 16y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 6,4y′ + 16y = 0
ζ =
3.Media
Risolvi y″ + 2y′ + y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = -2. Trova y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(0.5) =
4.Media
Una tazza di caffè a 82 °C viene lasciata in una stanza a 21 °C. Dopo 29 min la sua temperatura è 40 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 82 °CTa = 21 °CT(29) = 40 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Un serbatoio contiene 1000 L di acqua in cui sono disciolti 20 kg di sale. Una salamoia con 0,1 kg di sale per litro entra a 10 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Dopo quanti minuti t il serbatoio contiene 68 kg di sale?
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
t = min
Soluzioni
- 1. k = 0,2682 h⁻¹
- 2. ζ = 0,8
- 3. y(0.5) = 2,123
- 4. k = 0,04022 min⁻¹
- 5. ymax = 6,039
- 6. t = 91,63 min
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