1.Facile
Una grandezza cresce secondo dy/dt = k·y con k > 0. Vale 100 per t = 0 e 190 per t = 9 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 100y(9) = 190
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 1,5y′ + 9y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 1,5y′ + 9y = 0
ζ =
3.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 500 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 24 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,05 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 44 min.
T0 = 500 °CTa = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 44 min
T = °C
4.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 360 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 25 °C. Dopo 30 min la sua temperatura è 100 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 70 °C?
T0 = 360 °CTa = 25 °CT(30) = 100 °CT = 70 °C
t = min
5.Difficile
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 3y/x = 1 per x > 0, con y(1) = −2. Trova y(3).
y′ + 3y/x = 1y(1) = −2
y(3) =
6.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + y′ + 4,25y = 8,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,5); angoli in radianti.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Soluzioni
- 1. k = 0,07132 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 76,74 °C
- 4. t = 40,24 min
- 5. y(3) = 0,6667
- 6. y(0.5) = 0,8308
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