1.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 3y′ + 9y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 3y′ + 9y = 0
ζ =
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Per l’equazione y″ + 5y′ + 4y = 0, trova la radice r dell’equazione caratteristica più vicina a zero. Stabilisce quanto lentamente si smorza la soluzione.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 480 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 25 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,03 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 30 min.
T0 = 480 °CTa = 25 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 30 min
T = °C
4.Media
Una lattina di bibita a 5 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 30 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,06 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 5 min.
T0 = 5 °CTa = 30 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.Difficile
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 2y/x = 2x per x > 0, con y(1) = 4. Trova y(3).
y′ + 2y/x = 2xy(1) = 4
y(3) =
6.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + y′ + 16,25y = 162,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Soluzioni
- 1. ζ = 0,5
- 2. r = −1
- 3. T = 210 °C
- 4. T = 11,48 °C
- 5. y(3) = 4,889
- 6. ymax = 16,75
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