1.Facile
Una grandezza decresce secondo dy/dt = −k·y con k > 0. Vale 120 per t = 0 e 54 per t = 5 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 120y(5) = 54
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Per l’equazione y″ + 10y′ + 24y = 0, trova la radice r dell’equazione caratteristica più vicina a zero. Stabilisce quanto lentamente si smorza la soluzione.
y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
3.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 440 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 22 °C. Dopo 47 min la sua temperatura è 62 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 22 °CT(47) = 62 °C
k = min⁻¹
4.Media
Una tazza di caffè a 86 °C viene lasciata in una stanza a 24 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,07 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 5 min.
T0 = 86 °CTa = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.Difficile
Risolvi y″ + 4y′ + 13y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 0 (rilasciato da fermo). Trova y(0,75); angoli in radianti.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 4y′ + 8y = 40 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,25); angoli in radianti.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Soluzioni
- 1. k = 0,1597 h⁻¹
- 2. r = −4
- 3. k = 0,04993 min⁻¹
- 4. T = 67,69 °C
- 5. y(0.75) = −0,07327
- 6. y(0.25) = 0,8847
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