1.Facile
Una grandezza decresce secondo dy/dt = −k·y con k > 0. Vale 100 per t = 0 e 85 per t = 9 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 100y(9) = 85
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un tracciante radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 18 giorni. Un campione contiene inizialmente 10 mg. Il decadimento segue dm/dt = −k·m. Quanto m ne rimane dopo 43 giorni?
m0 = 10 mgt½ = 18 dt = 43 d
m = mg
3.Media
Risolvi y″ + 3y′ + 2y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 6. Trova y(0,5).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 6
y(0.5) =
4.Media
Una tazza di caffè a 95 °C viene lasciata in una stanza a 20 °C. Dopo 13 min la sua temperatura è 38 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 95 °CTa = 20 °CT(13) = 38 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Un serbatoio contiene 100 L di acqua in cui sono disciolti 20 kg di sale. Una salamoia con 0,25 kg di sale per litro entra a 2 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Dopo quanti minuti t il serbatoio contiene 24 kg di sale?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
Soluzioni
- 1. k = 0,01806 h⁻¹
- 2. m = 1,909 mg
- 3. y(0.5) = 2,277
- 4. k = 0,1098 min⁻¹
- 5. ymax = 13,08
- 6. t = 80,47 min
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