1.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 1,6y′ + 64y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 1,6y′ + 64y = 0
ζ =
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Una grandezza cresce secondo dy/dt = k·y con k > 0. Vale 100 per t = 0 e 300 per t = 5 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 100y(5) = 300
k = h⁻¹
3.Media
Risolvi y″ + 6y′ + 8y = 0 con y(0) = 4 e y′(0) = 6. Trova y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 6
y(1.5) =
4.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 380 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 21 °C. Dopo 55 min la sua temperatura è 90 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 21 °CT(55) = 90 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un serbatoio contiene 500 L di acqua in cui sono disciolti 20 kg di sale. Una salamoia con 0,2 kg di sale per litro entra a 2 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 120 min?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,25); angoli in radianti.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Soluzioni
- 1. ζ = 0,1
- 2. k = 0,2197 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 0,5303
- 4. k = 0,02999 min⁻¹
- 5. m = 50,5 kg
- 6. y(0.25) = 5,876
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